שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2019 - מטריצות

תוות המטריצות הבאות מעל $\mathbb{R}$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ -2 & -4 & -6 & -8 \end{pmatrix}$$ א. רק $B$ ו-$D$ דומות. ב. רק $A$ ו-$D$ דומות. ג. רק $B$ ו-$C$ דומות. ד. אף תשובה לא נכונה.

רמז: בדוק את **הדרגה** ואת **העקבה** של כל מטריצה — אלו אינווריאנטים של דמיון. לאחר הסינון הראשוני, השתמש בצורת ז'ורדן כדי להכריע.

פתרון: נבדוק את **האינווריאנטים של דמיון** עבור כל מטריצה: **דרגה**, **עקבה**, ו**פולינום אופייני**. **חישוב דרגה ועקבה:** - **מטריצה $A$:** שורה אחת שונה מאפס $\Rightarrow$ $\text{rank}(A)=1$. עקבה: $\text{tr}(A)=1+0+0+0=1$. - **מטריצה $B$:** עמודה 3 בלבד שונה מאפס $\Rightarrow$ $\text{rank}(B)=1$. עקבה: $\text{tr}(B)=0+0+(-3)+0=-3$. - **מטריצה $C$:** שורה 2 $= -$ שורה 1, שורה 3 $= 0$, אך שורה 4 $= (-2,-2,-2,-2)$ בלתי תלויה בשורה 1 $\Rightarrow$ $\text{rank}(C)=2$. עקבה: $\text{tr}(C)=1+(-2)+0+(-2)=-3$. - **מטריצה $D$:** שורה 2 $=-$שורה 1, שורה 3 $=2\cdot$שורה 1, שורה 4 $=-2\cdot$שורה 1 $\Rightarrow$ $\text{rank}(D)=1$. עקבה: $\text{tr}(D)=1+(-2)+6+(-8)=-3$. **סינון לפי אינווריאנטים:** | מטריצה | דרגה | עקבה | |--------|------|------| | $A$ | 1 | $1$ | | $B$ | 1 | $-3$ | | $C$ | **2** | $-3$ | | $D$ | 1 | $-3$ | - $C$ נפסלת מיד — דרגתה שונה מהשאר. - $A$ נפסלת מדמיון ל-$B$ או $D$ — עקבותיה שונות. - $B$ ו-$D$ חולקות $\text{rank}=1$ ו-$\text{tr}=-3$. **בדיקת דמיון בין $B$ ל-$D$:** מכיוון ש-$\text{rank}(B)=\text{rank}(D)=1$, ה**אפסייה** (גרעין) של כל אחת היא בעלת מימד $4-1=3$. לכן הערך העצמי $\lambda=0$ בעל **ריבוי גיאומטרי 3**. הפולינום האופייני של שתיהן הוא (מטריצת דרגה 1 עם ערך עצמי אחד שונה מאפס שווה לעקבה): $$p_B(\lambda)=p_D(\lambda)=\lambda^3(\lambda+3)$$ המורים העצמיים הם $0$ (ריבוי אלגברי 3, גיאומטרי 3) ו-$-3$ (ריבוי 1). לכן **צורת ז'ורדן** של שתיהן זהה: $$J = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ מכיוון ש-$B$ ו-$D$ דומות לאותה צורת ז'ורדן, הן **דומות זו לזו**. **סיכום:** רק $B$ ו-$D$ דומות. התשובה הנכונה היא **א**. $\blacksquare$