שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2009 - אופרטור צמוד

תהי $N \in M_{n \times n}^{\mathbb{R}}$. נגדיר פונקציה $S: M_{n \times n}^{\mathbb{R}} \to M_{n \times n}^{\mathbb{R}}$ על ידי: $S(A) = NA + AN^t$. (ג) האם הצמצום של $S$ ל-$W$ (מרחב המטריצות הסימטריות) הוא טרנספורמציה לינארית צמודה לעצמה?

רמז: מספיק למצוא דוגמה נגדית. נסו $N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ובדקו אם מטריצת הייצוג של $S|_W$ ביחס לבסיס אורתונורמלי של $W$ היא סימטרית.

פתרון: **לא**, הצמצום אינו בהכרח צמוד לעצמו. דוגמה נגדית: עבור $N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. נחשב את $[S_W]_C$ עבור $C$ בסיס אורתונורמלי כלשהו של $W$ (מרחב המטריצות הסימטריות $2 \times 2$). מטריצת הייצוג המתקבלת אינה סימטרית, ולכן $S|_W$ אינה צמודה לעצמה. $\blacksquare$