שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - אוניברסיטת בר-אילן 2025 - מכפלה פנימית

נסחו והוכיחו את אי-שוויון קושי-שוורץ (כולל תנאי מספיק והכרחי לשיוויון).

רמז: הגדירו את הוקטור $w = u - \frac{\langle u,v \rangle}{\|v\|^2}v$ ודרשו $\|w\|^2 \geq 0$. השיוויון מתקיים אמ"מ $w = 0$, כלומר $u$ ו-$v$ **תלויים לינארית**.

פתרון: **ניסוח:** יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית (ממשי). לכל $u, v \in V$ מתקיים: $$|\langle u, v \rangle|^2 \leq \|u\|^2 \cdot \|v\|^2$$ כלומר $|\langle u, v \rangle| \leq \|u\| \cdot \|v\|$. שיוויון מתקיים אמ"מ $u$ ו-$v$ **תלויים לינארית**. **הוכחה:** אם $v = 0$: שני האגפים מתאפסים ואין מה להוכיח. נניח $v \neq 0$. נגדיר: $$w = u - \frac{\langle u, v \rangle}{\|v\|^2}\, v$$ מאי-שליליות הנורמה: $$0 \leq \|w\|^2 = \left\langle u - \frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v,\; u - \frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v \right\rangle$$ $$= \|u\|^2 - 2\frac{\langle u,v\rangle^2}{\|v\|^2} + \frac{\langle u,v\rangle^2}{\|v\|^4}\|v\|^2 = \|u\|^2 - \frac{\langle u,v\rangle^2}{\|v\|^2}$$ לכן: $$\langle u, v \rangle^2 \leq \|u\|^2 \cdot \|v\|^2 \qquad \blacksquare$$ **תנאי לשיוויון:** $\|w\|^2 = 0$ אמ"מ $w = 0$, כלומר $u = \frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v$. זה מתקיים אמ"מ $u$ הוא כפל סקלרי של $v$, כלומר $u$ ו-$v$ **תלויים לינארית**. $\blacksquare$