שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - אינטגרלים לא אמיתיים

מצאו את כל הערכים של $p$ ו-$q$ עבורם מתכנס האינטגרל: $$\int_0^{\pi/2} \frac{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^p}{x^p(\cos x)^q}\,dx$$

רמז: בדקו את ההתנהגות בכל אחת מנקודות הקצה $x=0$ ו-$x=\pi/2$ בנפרד, תוך שימוש בקירובים $\cos x \approx 1$ ו-$\cos x = \sin(\pi/2-x) \approx \pi/2-x$ בהתאמה.

פתרון: הפונקציה אינה מוגדרת (פוטנציאלית) ב-$x=0$ ו-$x=\pi/2$, ואין סינגולריות פנימית בתחום $(0,\pi/2)$. **סביב $x=0$:** $\cos x \to 1$, $\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)^p \to \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^p$. לכן האינטגרנד $\sim C \cdot x^{-p}$. מתכנס ב-0 $\Longleftrightarrow$ $p < 1$. **סביב $x=\pi/2$:** נציב $u = \pi/2 - x \to 0^+$. אז $\cos x = \sin u \approx u$ ו-$x \approx \pi/2$. לכן: $$\text{אינטגרנד} \approx \frac{u^p}{(\pi/2)^p \cdot u^q} = \frac{u^{p-q}}{(\pi/2)^p}$$ מתכנס ב-$\pi/2$ $\Longleftrightarrow$ $p-q > -1$ $\Longleftrightarrow$ $p > q-1$. **סיכום:** האינטגרל מתכנס אם ורק אם: $$q - 1 < p < 1$$ (תנאי זה ממשי כאשר $q < 2$; עבור $q \geq 2$ אין ערכי $p$ מתאימים.)