שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2025 - טורים

א. בהינתן סדרת מספרים $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ נגדיר $c_n = a_{n+1} - a_n$. הוכיחו שהטור $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ מתכנס אם ורק אם הסדרה $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ מתכנסת לגבול סופי. ב. קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר: $$\int_0^{\infty} \frac{x^2 \sin(x^2)}{2^x}\,dx$$

רמז: עבור סעיף א', בחנו את סדרת הסכומים החלקיים של הטור כדי לזהות שהוא טור טלסקופי. עבור סעיף ב', בדקו התכנסות בהחלט על ידי חסימת $|\sin(x^2)| \le 1$ והשתמשו במבחן ההשוואה.

פתרון: א. נוכיח את שני הכיוונים של הטענה. ראשית, נשים לב שסדרת הסכומים החלקיים של הטור $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ היא **טור טלסקופי**. נסמן את הסכום החלקי ה-$N$ ב-$S_N$: $$S_N = \sum_{n=1}^{N} c_n = \sum_{n=1}^{N} (a_{n+1} - a_n) = (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \dots + (a_{N+1} - a_N) = a_{N+1} - a_1$$ **כיוון ראשון ($\Rightarrow$):** נניח שהסדרה $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ **מתכנסת לגבול סופי** $L$. כלומר, $\lim_{n \to \infty} a_n = L$. הטור $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים שלו, $(S_N)$, מתכנסת. נחשב את גבול סדרת הסכומים החלקיים: $$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} (a_{N+1} - a_1)$$ מאחר ש-$(a_n)$ מתכנסת ל-$L$, גם תת-הסדרה $(a_{n+1})$ מתכנסת לאותו גבול. לכן, $\lim_{N \to \infty} a_{N+1} = L$. מכאן: $$\lim_{N \to \infty} S_N = (\lim_{N \to \infty} a_{N+1}) - a_1 = L - a_1$$ הגבול $L - a_1$ הוא גבול סופי, ולכן סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת. מכאן שהטור $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ **מתכנס**. **כיוון שני ($\Leftarrow$):** נניח שהטור $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ **מתכנס**. משמעות הדבר היא שסדרת הסכומים החלקיים $(S_N)$ מתכנסת לגבול סופי. נסמן גבול זה ב-$S$, כלומר $\lim_{N \to \infty} S_N = S$. ידוע לנו כי $S_N = a_{N+1} - a_1$. נציב זאת בגבול: $$\lim_{N \to \infty} (a_{N+1} - a_1) = S \implies (\lim_{N \to \infty} a_{N+1}) - a_1 = S \implies \lim_{N \to \infty} a_{N+1} = S + a_1$$ הגבול $\lim_{N \to \infty} a_{N+1}$ קיים ושווה למספר הסופי $S+a_1$. קיום הגבול של $(a_{n+1})$ שקול לקיום הגבול של $(a_n)$ לאותו הערך. לכן, הסדרה $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ **מתכנסת לגבול סופי**. הוכחנו את שני הכיוונים. $\blacksquare$ ב. נבדוק **התכנסות בהחלט**, כלומר את התכנסות האינטגרל $\int_0^{\infty} \left| \frac{x^2 \sin(x^2)}{2^x} \right|\,dx$. נשתמש באי-השוויון $|\sin(u)| \le 1$ לכל $u \in \mathbb{R}$. לכן, לכל $x \ge 0$: $$0 \le \left| \frac{x^2 \sin(x^2)}{2^x} \right| = \frac{x^2 |\sin(x^2)|}{2^x} \le \frac{x^2}{2^x}$$ כעת, נבדוק את התכנסות האינטגרל $\int_0^{\infty} \frac{x^2}{2^x}\,dx$ באמצעות **מבחן ההשוואה**. הפונקציה $g(x) = \frac{x^2}{2^x}$ רציפה ואי-שלילית בתחום $[0, \infty)$. האינטגרל $\int_0^1 \frac{x^2}{2^x}\,dx$ מתכנס כי הוא אינטגרל של פונקציה רציפה בקטע סגור. נבדוק את התכנסות $\int_1^{\infty} \frac{x^2}{2^x}\,dx$. נשתמש ב**מבחן ההשוואה הגבולי** עם הפונקציה $h(x) = \frac{1}{x^2}$. ידוע שהאינטגרל $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ מתכנס (אינטגרל p עם $p=2>1$). נחשב את הגבול: $$\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2/2^x}{1/x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{2^x} = 0$$ הגבול חושב באמצעות שימוש חוזר בכלל לופיטל, או מהידיעה שפונקציה מעריכית גדלה מהר יותר מכל פולינום. מאחר שהגבול הוא 0 והאינטגרל $\int_1^{\infty} h(x)\,dx$ מתכנס, אזי גם האינטגרל $\int_1^{\infty} g(x)\,dx$ מתכנס. מכאן שהאינטגרל $\int_0^{\infty} \frac{x^2}{2^x}\,dx$ כולו מתכנס. מכיוון שהראינו כי $0 \le \left| \frac{x^2 \sin(x^2)}{2^x} \right| \le \frac{x^2}{2^x}$ וכי $\int_0^{\infty} \frac{x^2}{2^x}\,dx$ מתכנס, על פי **מבחן ההשוואה הראשון**, גם האינטגרל $\int_0^{\infty} \left| \frac{x^2 \sin(x^2)}{2^x} \right|\,dx$ מתכנס. היות שהאינטגרל של הערך המוחלט מתכנס, האינטגרל המקורי **מתכנס בהחלט**.