שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2024 - העתקה לינארית

מצאו העתקה מפורשת $T : \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^3$ המקיימת $$T(1) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad T(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad T(1+x^2) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad T(2+2x+x^2) = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ או הוכיחו שלא קיימת כזו.

רמז: בדקו אם $2+2x+x^2$ צ"ל של $\{1, x, 1+x^2\}$ ואם התנאי הרביעי עקבי עם לינאריות. אז חלצו $T(x^2)$.

פתרון: נבדוק עקביות: $2 + 2x + x^2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot x + (1+x^2) - 1$. בעצם: $2+2x+x^2 = 1 + 2x + (1+x^2)$. ולכן: $$T(2+2x+x^2) = T(1) + 2T(x) + T(1+x^2) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \checkmark$$ עקבי! מ-$T(1+x^2) = T(1) + T(x^2)$: $T(x^2) = T(1+x^2) - T(1) = (0,1,0)^T - (3,0,1)^T = (-3,1,-1)^T$. לכן: $$T(a + bx + cx^2) = a\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+b-3c \\ c \\ a+b-c \end{pmatrix}$$ $\blacksquare$