שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - טור פונקציות

הוכיחו שאם הטור $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n(x)|$ מתכנס במידה שווה בקטע $I$, אז גם הטור $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ מתכנס במידה שווה בקטע $I$.

רמז: השתמשו בקריטריון קושי להתכנסות במידה שווה ובאי-שוויון המשולש.

פתרון: נשתמש בקריטריון קושי להתכנסות במידה שווה. יהי $\varepsilon > 0$. מאחר ש-$\sum |u_n(x)|$ מתכנסת במידה שווה, קיים $N$ כך שלכל $m > n > N$ ולכל $x \in I$: $$\sum_{k=n+1}^m |u_k(x)| < \varepsilon.$$ אז לפי אי-שוויון המשולש: $$\left|\sum_{k=n+1}^m u_k(x)\right| \leq \sum_{k=n+1}^m |u_k(x)| < \varepsilon.$$ זהו קריטריון קושי להתכנסות במידה שווה של $\sum u_n(x)$. $\blacksquare$