שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2012 - אופרטור נורמלי

נתונה מטריצה $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_{2 \times 2}^{\mathbb{C}}$. הוכיחו ש-$A$ נורמלית ומצאו את הפירוק הספקטרלי שלה $A = \sum \lambda_i P_i$, כאשר $P_i$ הן מטריצות (המייצגות בבסיס הסטנדרטי) של ההטלות האורתוגונליות שמופיעות בפירוק הספקטרלי של $T_A$.

רמז: בדקו ש-$AA^* = A^*A$ (נורמליות). מצאו ע"ע, ולכל ע"ע מצאו בסיס אורתונורמלי למרחב העצמי ובנו את מטריצת ההטלה.

פתרון: **הוכחת נורמליות:** $$A^* = \overline{A}^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$AA^* = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ $$A^*A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ מכיוון ש-$AA^* = A^*A = I$, $A$ **נורמלית** (ואף אוניטרית). **הפולינום האופייני:** $$p_A(t) = \det(tI - A) = t^2 + 1 = (t - i)(t + i)$$ הערכים העצמיים: $\lambda_1 = i$, $\lambda_2 = -i$. **מרחבים עצמיים:** עבור $\lambda_1 = i$: $(iI - A)v = 0$: $$\begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{pmatrix}v = 0$$ השורה הראשונה: $iv_1 + v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = -iv_1$. וקטור עצמי: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$, מנורמל: $u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$. עבור $\lambda_2 = -i$: $(-iI - A)v = 0$: $$\begin{pmatrix} -i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}v = 0$$ השורה הראשונה: $-iv_1 + v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = iv_1$. וקטור עצמי: $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$, מנורמל: $u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$. **מטריצות ההטלה:** $P_1 = u_1 u_1^* = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$ $P_2 = u_2 u_2^* = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$ **הפירוק הספקטרלי:** $$A = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 = i \cdot \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} + (-i) \cdot \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$$ $$= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} i & -1 \\ 1 & i \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -i & -1 \\ 1 & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A \checkmark$$