שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2005 - מטריצות

מיצאו מטריצה אורתוגונלית כך שעמודתה הראשונה היא $\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}^t$.

רמז: השלימו את הוקטור הנתון לבסיס של $\mathbb{R}^3$ (למשל בעזרת וקטורי הסטנדרט), ואז הפעילו את תהליך גרם-שמידט כדי לקבל בסיס אורתונורמלי.

פתרון: **פתרון:** העמודה הראשונה היא $u_1 = \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \\ -2/3 \end{pmatrix}$. נבדוק: $\|u_1\|^2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = 1$. ✓ צריך למצוא שני וקטורים $u_2, u_3$ כך ש-$\{u_1, u_2, u_3\}$ מערכת אורתונורמלית. **שלב 1:** ניקח $w_2 = e_1 = (1, 0, 0)^t$ ונבצע גרם-שמידט: $$v_2 = w_2 - \langle w_2, u_1 \rangle u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 4/9 \\ 0 + 2/9 \\ 0 + 4/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/9 \\ 2/9 \\ 4/9 \end{pmatrix}$$ נרמול: $\|v_2\|^2 = \frac{25 + 4 + 16}{81} = \frac{45}{81} = \frac{5}{9}$. $$u_2 = \frac{v_2}{\|v_2\|} = \frac{1}{\sqrt{5/9}} \begin{pmatrix} 5/9 \\ 2/9 \\ 4/9 \end{pmatrix} = \frac{3}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 5/9 \\ 2/9 \\ 4/9 \end{pmatrix} = \frac{1}{3\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ **שלב 2:** $u_3 = u_1 \times u_2$ (מכפלה וקטורית): $$u_3 = u_1 \times u_2 = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \\ 5/(3\sqrt{5}) & 2/(3\sqrt{5}) & 4/(3\sqrt{5}) \end{vmatrix}$$ $$u_3 = e_1\left(\frac{-4}{3 \cdot 3\sqrt{5}} + \frac{4}{3 \cdot 3\sqrt{5}}\right) - e_2\left(\frac{8}{3 \cdot 3\sqrt{5}} + \frac{10}{3 \cdot 3\sqrt{5}}\right) + e_3\left(\frac{4}{3 \cdot 3\sqrt{5}} + \frac{5}{3 \cdot 3\sqrt{5}}\right)$$ $$= e_1(0) - e_2\left(\frac{18}{9\sqrt{5}}\right) + e_3\left(\frac{9}{9\sqrt{5}}\right)$$ $$= \begin{pmatrix} 0 \\ -2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix}$$ בדיקה: $\|u_3\|^2 = 0 + 4/5 + 1/5 = 1$. ✓ לכן המטריצה האורתוגונלית היא: $$\boxed{Q = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{5}{3\sqrt{5}} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{3} & \frac{4}{3\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{3} & \frac{4}{3\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}}$$ **הערה:** ישנן תשובות נכונות נוספות (תלוי בבחירת הוקטורים ההתחלתיים).