שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2009 - מטריצות

יהיו $v_1, v_2, v_3, v_4$ ארבעה וקטורים ב-$\mathbb{R}^4$. תהי $A$ המטריצה שעמודותיה הן $v_1, v_2$, ו-$C$ המטריצה שעמודותיה הן $v_1, v_2, v_3, v_4$. סדר העמודות במטריצות הוא לפי רישום הווקטורים משמאל לימין. הוכיחו או הפריכו (על-ידי דוגמה נגדית): אם למערכת $C\underline{x} = v_3$ יש אינסוף פתרונות אז גם למערכת $A\underline{x} = v_3$ יש אינסוף פתרונות.

רמז: שימו לב ש-$C\underline{x} = v_3$ תמיד יש לה לפחות פתרון אחד (העמודה השלישית). אם יש אינסוף פתרונות, מה אפשר להסיק על דרגת $C$? האם זה מחייב שגם למערכת $A\underline{x} = v_3$ יהיו פתרונות?

פתרון: הטענה **לא נכונה**. נפריך בדוגמה נגדית. ניקח: $$v_1 = (1,0,0,0),\quad v_2 = (0,1,0,0),\quad v_3 = (0,0,1,0),\quad v_4 = (0,0,1,0)$$ אז $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. **בדיקה ש-$C\underline{x} = v_3$ יש אינסוף פתרונות:** המערכת: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad x_3 + x_4 = 1, \quad 0 = 0$$ משתנה חופשי $x_4 = t$, אז $x_3 = 1 - t$. יש אינסוף פתרונות: $(0, 0, 1-t, t)$. **בדיקה ש-$A\underline{x} = v_3$ אין פתרון:** $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, והמערכת $A\underline{x} = v_3 = (0,0,1,0)^T$: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad 0 = 1$$ סתירה! למערכת אין פתרון כלל, ובפרט אין אינסוף פתרונות.