שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2010 - ערכים עצמיים

יהי $n \geq 2$ ותהי המטריצה $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2^2 & \cdots & 2^{n-1} \\ 2 & 2^2 & 2^3 & \cdots & 2^n \\ 2^2 & 2^3 & 2^4 & \cdots & 2^{n+1} \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 2^{n-1} & 2^n & 2^{n+1} & \cdots & 2^{2n-2} \end{pmatrix}$$ כלומר $a_{ij} = 2^{i+j-2}$ לכל $1 \leq i, j \leq n$. הוכיחו ש-$A$ לכסינה ורשמו מטריצה אלכסונית הדומה לה.

רמז: המטריצה $A$ סימטרית ממשית. מה ידוע על לכסון מטריצות סימטריות ממשיות?

פתרון: **הוכחה ש-$A$ לכסינה:** נשים לב ש-$A$ היא מטריצה סימטרית ממשית, שכן: $$a_{ij} = 2^{i+j-2} = 2^{j+i-2} = a_{ji}$$ לפי המשפט הספקטרלי, כל מטריצה סימטרית ממשית לכסינה (אורתוגונלית) מעל $\mathbb{R}$. לכן $A$ לכסינה. **מציאת המטריצה האלכסונית:** מהסעיפים הקודמים: - $\lambda_1 = 0$ הוא ערך עצמי עם ריבוי גיאומטרי $n-1$ (כי $\dim \ker(A) = n - 1$). - $\lambda_2 = \frac{4^n - 1}{3}$ הוא ערך עצמי (עם וקטור עצמי — העמודה הראשונה). מכיוון שהמטריצה $n \times n$ לכסינה, סכום הריבויים הגיאומטריים שווה ל-$n$. יש לנו $n-1$ וקטורים עצמיים עבור $\lambda = 0$ ו-1 עבור $\lambda = \frac{4^n-1}{3}$, סה"כ $n$. לכן המטריצה האלכסונית הדומה ל-$A$ היא: $$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{4^n-1}{3} \end{pmatrix}$$ כלומר מטריצה אלכסונית עם $n-1$ אפסים על האלכסון ו-$\frac{4^n-1}{3}$ בכניסה האחרונה.