קורס: אלגברה לינארית 1
אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה
שנה: 2008
סמסטר: ג
נושאים: מרחב וקטורי
רמת קושי: קל-בינוני
תהי $A$ תת-קבוצה של $\mathbb{R}^4$. נתון ש-$SpA = \{(1,-1,3,2),(2,1,-2,5),(4,-1,4,9)\}^{\perp}$. מיצאו את מימדו של $SpA$.
רמז: מצאו את מימד המרחב הנפרש על ידי שלושת הוקטורים, ואז השתמשו בנוסחה $\dim W + \dim W^{\perp} = n$.
פתרון: נסמן $W = Sp\{(1,-1,3,2),(2,1,-2,5),(4,-1,4,9)\}$.
נמצא את $\dim W$ על ידי בדיקת התלות הלינארית של הוקטורים. נשים אותם כשורות במטריצה ונדרג:
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & 5 \\ 4 & -1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$
$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$:
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & -8 & 1 \\ 4 & -1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$
$R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1$:
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & -8 & 1 \\ 0 & 3 & -8 & 1 \end{pmatrix}$$
$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$:
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & -8 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
לכן $\dim W = 2$.
לפי הנוסחה $\dim W + \dim W^{\perp} = 4$ (כי $W \subseteq \mathbb{R}^4$):
$$\dim W^{\perp} = 4 - 2 = 2$$
לכן $\dim SpA = \dim W^{\perp} = 2$.
תהי A תת-קבוצה של R4. נתון ש-SpA={(1,−1,3,2),(2,1,−2,5),(4,−1,4,9)}⊥. מיצאו את מימדו של SpA.
האוניברסיטה הפתוחהמבחן סמסטר ג2008סמסטר ג
מרחב וקטורי
מצאו את מימד המרחב הנפרש על ידי שלושת הוקטורים, ואז השתמשו בנוסחה dimW+dimW⊥=n.
נסמן W=Sp{(1,−1,3,2),(2,1,−2,5),(4,−1,4,9)}.
נמצא את dimW על ידי בדיקת התלות הלינארית של הוקטורים. נשים אותם כשורות במטריצה ונדרג:
124−11−13−24259
R2←R2−2R1:
104−13−13−84219
R3←R3−4R1:
100−1333−8−8211
R3←R3−R2:
100−1303−80210
לכן dimW=2.
לפי הנוסחה dimW+dimW⊥=4 (כי W⊆R4):
dimW⊥=4−2=2
לכן dimSpA=dimW⊥=2.