שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - אינטגרלים

יהי $n$ מספר טבעי קבוע, ונניח ש-$a_1 < b_1 < a_2 < b_2 < \ldots < a_n < b_n$. הראו כי אם $p(x)$ פולינום ממעלה קטנה מ-$n$ המקיים $\displaystyle\int_{a_k}^{b_k} p(x)\,dx = 0$ לכל $k = 1, 2, \ldots, n$, אז $p(x) = 0$ לכל $x$.

רמז: הניחו בשלילה $p \not\equiv 0$. הראו שבכל קטע $(a_k, b_k)$ חייב להיות אפס של $p$, וסיקו שיש לפחות $n$ אפסים — יותר ממה שמאפשר הדרגה.

פתרון: נניח בשלילה ש-$p \not\equiv 0$. מכיוון ש-$\deg p < n$, ל-$p$ לכל היותר $n-1$ אפסים. **טענה:** לכל $k \in \{1,\ldots,n\}$, יש ל-$p$ אפס לפחות אחד ב-$(a_k, b_k)$. *הוכחה:* נניח ש-$p$ אינו מחליף סימן ב-$(a_k,b_k)$, כלומר $p \geq 0$ (או $p \leq 0$) בכל הקטע. מרציפות $p$, אם $p > 0$ בנקודה אחת אז $\int_{a_k}^{b_k} p > 0$, סתירה ל-$\int_{a_k}^{b_k} p = 0$. לכן $p \equiv 0$ על $[a_k,b_k]$, אבל פולינום שאינו אפס אינו יכול לאפס על קטע — **סתירה** להנחה $p \not\equiv 0$. לכן $p$ מחליף סימן, ומרציפות יש $z_k \in (a_k, b_k)$ כך ש-$p(z_k) = 0$. מכיוון שהקטעים $[a_1,b_1],\ldots,[a_n,b_n]$ **זרים**, האפסים $z_1,\ldots,z_n$ שונים זה מזה — כלומר ל-$p$ יש לפחות $n$ אפסים. אבל $p \not\equiv 0$ ו-$\deg p < n$ מחייבים לכל היותר $n-1$ אפסים — **סתירה**. לכן $p \equiv 0$. $\blacksquare$