שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2024 - אינטגרלים לא אמיתיים

א. נסחו את מבחן ההשוואה הגבולי לאינטגרל. ב. קבעו האם האינטגרל הלא אמיתי $\int_1^{+\infty} \left(1 - \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right) dx$ מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או שאינו מתכנס.

רמז: השתמשו בפיתוח טיילור $1 - \cos(t) \sim \frac{t^2}{2}$ כאשר $t \to 0$, והשוו ל-$\frac{1}{x^2}$ באמצעות מבחן ההשוואה הגבולי.

פתרון: **א.** מבחן ההשוואה הגבולי: תהיינה $f, g$ פונקציות רציפות על $[a, \infty)$ כך ש-$f(x) \geq 0$ ו-$g(x) > 0$ לכל $x \geq a$. אם $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$ כאשר $0 < L < \infty$, אז $\int_a^{\infty} f(x) \, dx$ מתכנס אם ורק אם $\int_a^{\infty} g(x) \, dx$ מתכנס. **ב.** נשים לב כי $1 - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \geq 0$ לכל $x \geq 1$, ולכן התכנסות בהחלט שקולה להתכנסות. נשתמש בפיתוח טיילור: כאשר $t \to 0$, $1 - \cos(t) \sim \frac{t^2}{2}$. לכן כאשר $x \to \infty$: $$1 - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{2x^2}$$ נחשב את הגבול: $$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \cos(1/x)}{1/x^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos(t)}{t^2} = \frac{1}{2}$$ מכיוון ש-$0 < \frac{1}{2} < \infty$ ו-$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ **מתכנס** (אינטגרל $p$ עם $p = 2 > 1$), ממבחן ההשוואה הגבולי גם $\int_1^{+\infty} \left(1 - \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right) dx$ מתכנס. מכיוון שהאינטגרנד אי-שלילי, האינטגרל **מתכנס בהחלט**.