שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - אינטגרלים

תהי $f(x)$ גזירה ב-$[0,1]$ ומקיימת $f(0) \leq 3$ ו-$f'(x) \leq 2$ לכל $x \in [0,1]$. הוכיחו כי $\int_0^1 f(x)\,dx \leq 4$.

רמז: מהנתון $f'(x) \leq 2$ ו-$f(0) \leq 3$, הוציאו חסם עליון לפונקציה $f(x)$ עצמה בעזרת אינטגרציה של $f'$.

פתרון: מכיוון ש-$f'(x) \leq 2$ לכל $x \in [0,1]$: $$f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t)\,dt \leq f(0) + \int_0^x 2\,dt = f(0) + 2x \leq 3 + 2x$$ לכן: $$\int_0^1 f(x)\,dx \leq \int_0^1 (3+2x)\,dx = \Big[3x+x^2\Big]_0^1 = 3+1 = 4$$ $\blacksquare$