שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2001

תהי

A_{4 \times 4}

מטריצה סימטרית ממשית, ויהי

f (t) = t \cdot (t - 1)^{2} \cdot (t - 3)

הפולינום האופייני של

A

.

יהי

v_{0}

וקטור עצמי של

A

המתאים לערך עצמי

0

v_{1}

ו-

v_{2}

וקטורים עצמיים בלתי תלויים לינארית ששייכים ל-

λ = 1

ו-

v_{3}

וקטור עצמי ששייך ל-

λ = 3

.

אזי:

א.

v_{0} + v_{1}

הוא וקטור עצמי של

A

.
ב.

v_{1}

אורתוגונלי ל-

v_{2}

.
ג. המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים

v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}

היא מטריצה אורתוגונלית.
ד.

A

הפיכה.
ה.

v_{3}

אורתוגונלי ל-

v_{0} + v_{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד א2001סמסטר א

★★★★★

ערכים עצמייםוקטורים עצמייםמטריצה אנטי-סימטרית

במטריצה סימטרית, ו"ע של ע"ע שונים הם אורתוגונליים.

התשובה הנכונה היא ה.

A

סימטרית ולכן וקטורים עצמיים ששייכים לע"ע שונים הם אורתוגונליים.

v_{3}

שייך ל-

λ = 3

ו-

v_{0} + v_{1}

הוא צ"ל של וקטורים מע"ע

0

ו-

1

, שניהם שונים מ-

3

, לכן

v_{3} ⊥ v_{0}

ו-

v_{3} ⊥ v_{1}

, ולכן

v_{3} ⊥ (v_{0} + v_{1})

.

א לא נכון:

v_{0} + v_{1}

אינו ע"ע כי

A (v_{0} + v_{1}) = 0 + v_{1} = v_{1} \neq = λ (v_{0} + v_{1})

.
ב לא בהכרח:

v_{1}, v_{2}

שייכים לאותו ע"ע.
ג לא בהכרח: הוקטורים לא בהכרח מנורמלים.
ד לא נכון:

det (A) = 0

כי

λ = 0

ע"ע.

■

שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2001 - ערכים עצמיים