שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2020 - סדרת פונקציות

האם סדרת הפונקציות $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$ מתכנסת נקודתית ב-$\mathbb{R}$? האם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע $[1,2]$? האם היא מתכנסת במ"ש בקטע $[0,2]$? יש לנמק. (ב) הראו כי הטור $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{1+n^3}$$ מגדיר פונקציה גזירה ברציפות ב-$\mathbb{R}$

רמז: כדי לבדוק התכנסות במ"ש, יש למצוא את סופרימום ההפרש $|f_n(x)-f(x)|$ בקטע ולבדוק את גבולו. כדי להוכיח גזירות של טור, יש להשתמש במשפט על גזירה איבר-איבר, המצריך בדיקת התכנסות במ"ש של טור הנגזרות.

פתרון: (א) ראשית, נבדוק **התכנסות נקודתית** של הסדרה $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$ ב-$\mathbb{R}$. נחשב את הגבול $\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ עבור $x$ קבוע. <ul> <li> אם $x=0$, אז $f_n(0) = \frac{n \cdot 0}{1+n^2 \cdot 0} = 0$ לכל $n$, ולכן $\lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0$. </li> <li> אם $x \neq 0$, אז: $$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{nx}{1+n^2x^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{nx}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{n^2x^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{x}{n}}{\frac{1}{n^2}+x^2} = \frac{0}{0+x^2} = 0 $$ </li> </ul> לפיכך, סדרת הפונקציות מתכנסת נקודתית לפונקציית הגבול $f(x)=0$ לכל $x \in \mathbb{R}$. כעת, נבדוק **התכנסות במידה שווה** (במ"ש). התכנסות במ"ש מתקיימת אם ורק אם $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| \to 0$ כאשר $n \to \infty$. במקרה שלנו, $f(x)=0$, ולכן נבדוק את $M_n = \sup_{x \in I} \left| \frac{nx}{1+n^2x^2} \right|$. **התכנסות במ"ש בקטע $[1,2]$**: בקטע זה, $x>0$ ו-$n \ge 1$, לכן הביטוי חיובי. נחפש את המקסימום של $f_n(x)$ בקטע. נגזור לפי $x$: $f_n'(x) = \frac{n(1+n^2x^2) - nx(2n^2x)}{(1+n^2x^2)^2} = \frac{n - n^3x^2}{(1+n^2x^2)^2} = \frac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}$. הנגזרת מתאפסת עבור $x>0$ כאשר $1-n^2x^2=0$, כלומר בנקודה $x = 1/n$. עבור $x > 1/n$, הנגזרת שלילית, כלומר הפונקציה $f_n(x)$ יורדת. מכיוון שלכל $n \ge 1$, מתקיים $1/n \le 1$, הפונקציה $f_n(x)$ יורדת לכל $x$ בקטע $[1,2]$. לכן, המקסימום בקטע $[1,2]$ מתקבל בקצה השמאלי, $x=1$. $M_n = \sup_{x \in [1,2]} f_n(x) = f_n(1) = \frac{n}{1+n^2}$. נבדוק את גבול הסופרימום: $$ \lim_{n \to \infty} M_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1+n^2} = 0 $$ מכיוון שהגבול שווה ל-0, הסדרה **מתכנסת במידה שווה בקטע $[1,2]$**. **התכנסות במ"ש בקטע $[0,2]$**: כפי שמצאנו, המקסימום של $f_n(x)$ (עבור $x \ge 0$) מתקבל בנקודה $x = 1/n$. עבור $n \ge 1$, הנקודה $1/n$ נמצאת בקטע $[0,2]$ (כי $0 < 1/n \le 1$). לכן, הסופרימום בקטע זה הוא הערך המקסימלי של הפונקציה: $M_n = \sup_{x \in [0,2]} f_n(x) = f_n(1/n) = \frac{n(1/n)}{1+n^2(1/n)^2} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$. נבדוק את גבול הסופרימום: $$ \lim_{n \to \infty} M_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq 0 $$ מכיוון שהגבול אינו 0, הסדרה **אינה מתכנסת במידה שווה בקטע $[0,2]$**. (ב) נרצה להראות כי הטור $S(x) = \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{1+n^3}$ מגדיר פונקציה גזירה ברציפות ב-$\mathbb{R}$. לשם כך, נשתמש **במשפט הגזירה איבר-איבר** לטורי פונקציות. נסמן $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{1+n^3}$. עלינו להראות: 1. הטור $\sum f_n(x)$ מתכנס (לפחות בנקודה אחת). 2. טור הנגזרות $\sum f_n'(x)$ מתכנס במידה שווה. נבדוק את התנאים באמצעות **מבחן M של ויירשטראס**. ראשית, נראה שהטור המקורי מתכנס במ"ש על $\mathbb{R}$. לכל $x \in \mathbb{R}$: $$ |f_n(x)| = \left| \frac{\sin(nx)}{1+n^3} \right| = \frac{|\sin(nx)|}{1+n^3} \le \frac{1}{1+n^3} $$ הטור המספרי $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^3}$ מתכנס, למשל, לפי מבחן ההשוואה עם הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ (טור-p עם $p=3>1$). לכן, לפי מבחן M של ויירשטראס, הטור $\sum f_n(x)$ מתכנס במידה שווה על כל $\mathbb{R}$, ובפרט מתכנס נקודתית. תנאי 1 מתקיים. כעת, נבחן את טור הנגזרות. נגזור איבר-איבר: $$ f_n'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(nx)}{1+n^3} \right) = \frac{n \cos(nx)}{1+n^3} $$ נבדוק התכנסות במ"ש של הטור $\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)$ באמצעות מבחן M של ויירשטראס. לכל $x \in \mathbb{R}$: $$ |f_n'(x)| = \left| \frac{n \cos(nx)}{1+n^3} \right| = \frac{n |\cos(nx)|}{1+n^3} \le \frac{n}{1+n^3} $$ הטור המספרי $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{1+n^3}$ מתכנס. ניתן להראות זאת באמצעות מבחן ההשוואה הגבולי עם הטור המתכנס $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ (טור-p עם $p=2>1$): $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n/(1+n^3)}{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{1+n^3} = 1 $$ מכיוון שהגבול הוא מספר סופי חיובי, הטורים חברים, ולכן $\sum \frac{n}{1+n^3}$ מתכנס. לפי מבחן M של ויירשטראס, טור הנגזרות $\sum f_n'(x)$ מתכנס במידה שווה על כל $\mathbb{R}$. תנאי 2 מתקיים. מאחר ששני התנאים מתקיימים, נוכל להסיק ממשפט הגזירה איבר-איבר כי הפונקציה $S(x)$ גזירה ב-$\mathbb{R}$ ונגזרתה היא: $$ S'(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cos(nx)}{1+n^3} $$ כדי להראות ש-$S(x)$ **גזירה ברציפות**, עלינו להראות שהנגזרת $S'(x)$ היא פונקציה רציפה. כל איבר בטור הנגזרות, $f_n'(x) = \frac{n \cos(nx)}{1+n^3}$, הוא פונקציה רציפה ב-$\mathbb{R}$. כפי שהראנו, טור הנגזרות $\sum f_n'(x)$ מתכנס במידה שווה ב-$\mathbb{R}$. על פי **המשפט על רציפות הגבול של סדרת פונקציות** (שגרסה שלו קיימת לטורים), אם טור של פונקציות רציפות מתכנס במידה שווה, אז סכומו הוא פונקציה רציפה. לכן, $S'(x)$ היא פונקציה רציפה ב-$\mathbb{R}$, וזה מוכיח כי $S(x)$ היא פונקציה גזירה ברציפות. $\blacksquare$