שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2020 - טורים

תהי $f : [0, \pi] \to \mathbb{R}$, נתון כי: $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx), \quad b_n \in \mathbb{R}$$ לכל $x \in (0, \pi)$. כמו כן נתון כי $\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 = 1$. נתון $f(x) = |x - \pi|$. סרטטו גרף של הפונקציה $g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$ בקטע $[-2\pi, 2\pi]$.

רמז: טור הסינוסים מגדיר פונקציה אי-זוגית ומחזורית עם מחזור $2\pi$. סרטטו תחילה את $f(x) = \pi - x$ ב-$(0,\pi)$, הרחיבו באופן אי-זוגי ל-$(-\pi, 0)$, ואז הרחיבו מחזורית.

פתרון: הפונקציה $g(x) = \sum b_n \sin(nx)$ היא אי-זוגית ($g(-x) = -g(x)$) ומחזורית עם מחזור $2\pi$. ב-$(0,\pi)$: $g(x) = \pi - x$ (ישר יורד מ-$\pi$ ל-$0$). ב-$(-\pi, 0)$: $g(x) = -g(-x) = -(\pi - (-x)) = -(\pi + x) = -\pi - x$ (ישר עולה מ-$-\pi$ ב-$x \to 0^-$ ל... תיקון: $g(x) = -g(-x) = -(\pi - (-x)) = -(\pi+x)$. ב-$x=-\pi$: $g(-\pi) = 0$, ב-$x \to 0^-$: $g \to -\pi$). בנקודות $x = 0, \pm\pi, \pm 2\pi$: $g = 0$. הגרף הוא פונקציה מחזורית עם קטעים ליניאריים: ב-$(0,\pi)$ יורד מ-$\pi$ ל-$0$, ב-$(-\pi,0)$ ישר מ-$0$ ל-$-\pi$ (כלומר $g(x) = -\pi - x$), וחוזר מחזורית.