שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת בר-אילן 2018 - נגזרות חלקיות

תהי הפונקציה $f(x,y) = x^2 - xy + 5$. א. מצאו את כל הנקודות בהן הנגזרת בכיוון הוקטור $(1,2)$ חיובית. ב. מצאו את הערך הגבוה ביותר והנמוך ביותר של $f$ על העקומה $3x^2 + y^2 = 1$.

רמז: בסעיף א', הנגזרת הכיוונית היא $\nabla f \cdot \hat{u}$; פשטו את הביטוי וראו מתי הוא חיובי. בסעיף ב', השתמשו בכופלי לגרנג' ופרקו את תנאי הכופל לשני מקרים.

פתרון: $\nabla f = (2x - y,\; -x)$ **א.** וקטור היחידה בכיוון $(1,2)$: $\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)$. הנגזרת הכיוונית: $$D_{\hat{u}}f = \nabla f \cdot \hat{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[(2x-y)\cdot 1 + (-x)\cdot 2\right] = \frac{1}{\sqrt{5}}(2x - y - 2x) = \frac{-y}{\sqrt{5}}$$ $D_{\hat{u}}f > 0 \iff -y > 0 \iff y < 0$. קבוצת הנקודות: $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y < 0\}$. **ב.** נשתמש ב**כופלי לגרנג'** עם הקשר $g(x,y) = 3x^2 + y^2 - 1 = 0$, כך ש-$\nabla g = (6x, 2y)$. מערכת התנאים $\nabla f = \lambda \nabla g$: 1. $2x - y = 6\lambda x$ 2. $-x = 2\lambda y$ ממשוואה (2): $\lambda = -\dfrac{x}{2y}$ (לעת עתה נניח $y \neq 0$). מציבים ב-(1): $$2x - y = 6x \cdot \left(-\frac{x}{2y}\right) = -\frac{3x^2}{y}$$ $$y(2x - y) = -3x^2 \implies 3x^2 + 2xy - y^2 = 0 \implies (3x - y)(x + y) = 0$$ **מקרה 1:** $y = 3x$. מ-$g = 0$: $3x^2 + 9x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \tfrac{1}{12}$, נקודות: $\left(\pm\tfrac{1}{2\sqrt{3}}, \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. $$f = \frac{1}{12} - \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 5 = \frac{29}{6}$$ **מקרה 2:** $y = -x$. מ-$g = 0$: $3x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm\tfrac{1}{2}$, נקודות: $\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\right)$ ו-$\left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right)$. $$f = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + 5 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 5 = \frac{11}{2}$$ (המקרה $y = 0$ מוביל ל-$x = 0$ ממשוואה (2), שסותר את $g = 0$, לכן אינו אפשרי.) מכיוון ש-$\dfrac{29}{6} \approx 4.83 < \dfrac{11}{2} = 5.5$: - **מינימום:** $\dfrac{29}{6}$ בנקודות $\left(\pm\dfrac{1}{2\sqrt{3}}, \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ - **מקסימום:** $\dfrac{11}{2}$ בנקודות $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)$ ו-$\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$