קורס: אינפי 2 / חדו"א 2
אוניברסיטה: אוניברסיטת בר-אילן
שנה: 2018
סמסטר: ב
נושאים: נגזרות חלקיות, קיצון מותנה, פונקציות של שני משתנים, שיעור שינוי
רמת קושי: בינוני-קשה
תהי הפונקציה $f(x,y) = x^2 - xy + 5$.
א. מצאו את כל הנקודות בהן הנגזרת בכיוון הוקטור $(1,2)$ חיובית.
ב. מצאו את הערך הגבוה ביותר והנמוך ביותר של $f$ על העקומה $3x^2 + y^2 = 1$.
רמז: בסעיף א', הנגזרת הכיוונית היא $\nabla f \cdot \hat{u}$; פשטו את הביטוי וראו מתי הוא חיובי. בסעיף ב', השתמשו בכופלי לגרנג' ופרקו את תנאי הכופל לשני מקרים.
פתרון: $\nabla f = (2x - y,\; -x)$
**א.** וקטור היחידה בכיוון $(1,2)$: $\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)$.
הנגזרת הכיוונית:
$$D_{\hat{u}}f = \nabla f \cdot \hat{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[(2x-y)\cdot 1 + (-x)\cdot 2\right] = \frac{1}{\sqrt{5}}(2x - y - 2x) = \frac{-y}{\sqrt{5}}$$
$D_{\hat{u}}f > 0 \iff -y > 0 \iff y < 0$.
קבוצת הנקודות: $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y < 0\}$.
**ב.** נשתמש ב**כופלי לגרנג'** עם הקשר $g(x,y) = 3x^2 + y^2 - 1 = 0$, כך ש-$\nabla g = (6x, 2y)$.
מערכת התנאים $\nabla f = \lambda \nabla g$:
1. $2x - y = 6\lambda x$
2. $-x = 2\lambda y$
ממשוואה (2): $\lambda = -\dfrac{x}{2y}$ (לעת עתה נניח $y \neq 0$). מציבים ב-(1):
$$2x - y = 6x \cdot \left(-\frac{x}{2y}\right) = -\frac{3x^2}{y}$$
$$y(2x - y) = -3x^2 \implies 3x^2 + 2xy - y^2 = 0 \implies (3x - y)(x + y) = 0$$
**מקרה 1:** $y = 3x$. מ-$g = 0$: $3x^2 + 9x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \tfrac{1}{12}$, נקודות: $\left(\pm\tfrac{1}{2\sqrt{3}}, \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$$f = \frac{1}{12} - \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 5 = \frac{29}{6}$$
**מקרה 2:** $y = -x$. מ-$g = 0$: $3x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm\tfrac{1}{2}$, נקודות: $\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\right)$ ו-$\left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right)$.
$$f = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + 5 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 5 = \frac{11}{2}$$
(המקרה $y = 0$ מוביל ל-$x = 0$ ממשוואה (2), שסותר את $g = 0$, לכן אינו אפשרי.)
מכיוון ש-$\dfrac{29}{6} \approx 4.83 < \dfrac{11}{2} = 5.5$:
- **מינימום:** $\dfrac{29}{6}$ בנקודות $\left(\pm\dfrac{1}{2\sqrt{3}}, \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
- **מקסימום:** $\dfrac{11}{2}$ בנקודות $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)$ ו-$\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$
תהי הפונקציה f ( x , y ) = x 2 − x y + 5 . א. מצאו את כל הנקודות בהן הנגזרת בכיוון הוקטור ( 1 , 2 ) חיובית. ב. מצאו את הערך הגבוה ביותר והנמוך ביותר של f על העקומה 3 x 2 + y 2 = 1 .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב 2018 סמסטר ב
נגזרות חלקיות קיצון מותנה פונקציות של שני משתנים שיעור שינוי
בסעיף א', הנגזרת הכיוונית היא ∇ f ⋅ u ^ ; פשטו את הביטוי וראו מתי הוא חיובי. בסעיף ב', השתמשו בכופלי לגרנג' ופרקו את תנאי הכופל לשני מקרים.
∇ f = ( 2 x − y , − x ) א. וקטור היחידה בכיוון ( 1 , 2 ) : u ^ = 5 1 ( 1 , 2 ) . הנגזרת הכיוונית: D u ^ f = ∇ f ⋅ u ^ = 5 1 [ ( 2 x − y ) ⋅ 1 + ( − x ) ⋅ 2 ] = 5 1 ( 2 x − y − 2 x ) = 5 − y D u ^ f > 0 ⟺ − y > 0 ⟺ y < 0 . קבוצת הנקודות: {( x , y ) ∈ R 2 : y < 0 } . ב. נשתמש בכופלי לגרנג' עם הקשר g ( x , y ) = 3 x 2 + y 2 − 1 = 0 , כך ש- ∇ g = ( 6 x , 2 y ) . מערכת התנאים ∇ f = λ ∇ g : 2 x − y = 6 λ x − x = 2 λ y ממשוואה (2): λ = − 2 y x (לעת עתה נניח y = 0 ). מציבים ב-(1): 2 x − y = 6 x ⋅ ( − 2 y x ) = − y 3 x 2 y ( 2 x − y ) = − 3 x 2 ⟹ 3 x 2 + 2 x y − y 2 = 0 ⟹ ( 3 x − y ) ( x + y ) = 0 מקרה 1: y = 3 x . מ- g = 0 : 3 x 2 + 9 x 2 = 1 ⇒ x 2 = 12 1 , נקודות: ( ± 2 3 1 , ± 2 3 ) . f = 12 1 − 2 3 1 ⋅ 2 3 + 5 = 12 1 − 4 1 + 5 = 6 29 מקרה 2: y = − x . מ- g = 0 : 3 x 2 + x 2 = 1 ⇒ x = ± 2 1 , נקודות: ( 2 1 , − 2 1 ) ו- ( − 2 1 , 2 1 ) . f = 4 1 − 2 1 ⋅ ( − 2 1 ) + 5 = 4 1 + 4 1 + 5 = 2 11 (המקרה y = 0 מוביל ל- x = 0 ממשוואה (2), שסותר את g = 0 , לכן אינו אפשרי.) מכיוון ש- 6 29 ≈ 4.83 < 2 11 = 5.5 : מינימום: 6 29 בנקודות ( ± 2 3 1 , ± 2 3 ) מקסימום: 2 11 בנקודות ( 2 1 , − 2 1 ) ו- ( − 2 1 , 2 1 )