שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2018 - אינטגרלים

יהי $G = \left\{(x,y,z) \mid \sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq 2\right\}$ גוף ב-$\mathbb{R}^3$. יהי $S$ השפה של $G$. חשבו את $\displaystyle\int_S z^2\, dS$.

רמז: השפה מורכבת משני חלקים: החרוט $z = \sqrt{x^2+y^2}$ והדיסקה $z=2$. חשבו את האינטגרל על כל חלק בנפרד, בקואורדינטות גליליות.

פתרון: השפה $S$ מורכבת משני חלקים: **חלק 1: הדיסקה העליונה** $S_1$: $z = 2$, $x^2 + y^2 \leq 4$. על $S_1$: $z^2 = 4$ ו-$dS = dA$, לכן: $$\int_{S_1} z^2\, dS = 4 \cdot \text{Area}(S_1) = 4 \cdot \pi \cdot 4 = 16\pi$$ **חלק 2: החרוט** $S_2$: $z = \sqrt{x^2 + y^2}$, $0 \leq z \leq 2$. פרמטריזציה: $r(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ עם $0 \leq r \leq 2$, $0 \leq \theta < 2\pi$. $$r_r = (\cos\theta, \sin\theta, 1), \quad r_\theta = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)$$ $$r_r \times r_\theta = (-r\cos\theta, -r\sin\theta, r)$$ $$|r_r \times r_\theta| = r\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta + 1} = r\sqrt{2}$$ על החרוט: $z = r$, ולכן $z^2 = r^2$: $$\int_{S_2} z^2\, dS = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2 \cdot r\sqrt{2}\, dr\, d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 r^3\, dr$$ $$= \sqrt{2} \cdot 2\pi \cdot \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2 = \sqrt{2} \cdot 2\pi \cdot 4 = 8\sqrt{2}\pi$$ **סה"כ:** $$\int_S z^2\, dS = 16\pi + 8\sqrt{2}\pi = \boxed{(16 + 8\sqrt{2})\pi}$$