שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2008 - ערכים עצמיים

נתונה מטריצה $A$ מסדר $3 \times 3$ שמקיימת: $\rho(A-2I) < \rho(A+I)$. ידוע גם ש- $A(2,1,-3)^t = (-2,-1,3)^t$. הוכיחו ש-$A$ לכסינה ומצאו את כל המטריצות האלכסוניות הדומות לה. הוכיחו ש-$A$ הפיכה.

רמז: מהנתון $A(2,1,-3)^t = (-2,-1,3)^t = -(2,1,-3)^t$ נובע ש-$-1$ ערך עצמי. השתמשו בתנאי על הדרגות כדי להסיק על הריבוי הגיאומטרי של הערכים העצמיים.

פתרון: **שלב 1: זיהוי ערך עצמי.** $$A(2,1,-3)^t = (-2,-1,3)^t = -1 \cdot (2,1,-3)^t$$ לכן $\lambda_1 = -1$ ערך עצמי של $A$ עם וקטור עצמי $(2,1,-3)^t$. **שלב 2: ניתוח התנאי $\rho(A-2I) < \rho(A+I)$.** נסמן $n = 3$. לפי משפט הממדים: $\dim \ker(A - \lambda I) = n - \rho(A - \lambda I)$. הריבוי הגיאומטרי של $\lambda = 2$: $g(2) = 3 - \rho(A - 2I)$. הריבוי הגיאומטרי של $\lambda = -1$: $g(-1) = 3 - \rho(A + I)$. מהתנאי $\rho(A-2I) < \rho(A+I)$ נובע $g(2) > g(-1)$. אנו יודעים ש-$g(-1) \geq 1$ (מצאנו וקטור עצמי). אם $g(-1) = 1$ אז $g(2) \geq 2$. במקרה זה $\lambda = 2$ הוא גם ערך עצמי. $g(2) \geq 2$ ו-$g(-1) \geq 1$, ולכן סכום הריבויים הגיאומטריים $\geq 3 = n$. זה אפשרי רק אם הפולינום האופייני הוא $(\lambda - 2)^2(\lambda + 1)$ או $(\lambda - 2)(\lambda + 1)$ עם ממד נוסף, אבל בגודל $3 \times 3$: הריבוי האלגברי של $2$ הוא לפחות $g(2) \geq 2$, והריבוי האלגברי של $-1$ הוא לפחות $1$. סך הכל $\geq 3$, ולכן בדיוק $m(2) = 2$ ו-$m(-1) = 1$. **שלב 3: לכסינות.** הריבויים הגיאומטריים שווים לאלגבריים: $g(2) = m(2) = 2$ ו-$g(-1) = m(-1) = 1$. לכן $A$ לכסינה. **שלב 4: מטריצות אלכסוניות.** כל מטריצה אלכסונית הדומה ל-$A$ מכילה את הערכים העצמיים על האלכסון (בסדר כלשהו). האפשרויות: $$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ (כל תמורה של $(2, 2, -1)$ על האלכסון.) **שלב 5: הפיכות.** $$\det A = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 2 \cdot 2 \cdot (-1) = -4 \neq 0$$ לכן $A$ הפיכה. $\blacksquare$