שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2013 - נגזרות חלקיות

נתון שדה וקטורי $$\vec{F}_1(x,y) = (P_1(x,y), Q_1(x,y)) = \left(\frac{-y}{(x-1)^2+y^2}, \frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}\right)$$ ושדה וקטורי $$\vec{F}_2(x,y) = (P_2(x,y), Q_2(x,y)) = \left(\frac{-y}{(x+1)^2+y^2}, \frac{x+1}{(x+1)^2+y^2}\right)$$ סגור ופשוט כלשהו המכיל בתוכו נקודות $(1,0)$ ו-$(-1,0)$ ומכוון נגד כיוון השעון. חשבו $\dfrac{\partial P_1}{\partial y}$, $\dfrac{\partial Q_1}{\partial x}$, $\dfrac{\partial P_2}{\partial y}$, $\dfrac{\partial Q_2}{\partial x}$.

רמז: השתמשו בכלל המנה לחישוב הנגזרות החלקיות. שימו לב שכל שדה וקטורי הוא מהצורה של גרדיאנט הזווית (ארקטנגנס) סביב נקודה שונה.

פתרון: עבור $\vec{F}_1$: $$P_1 = \frac{-y}{(x-1)^2+y^2}$$ $$\frac{\partial P_1}{\partial y} = \frac{-(( x-1)^2+y^2) + y \cdot 2y}{((x-1)^2+y^2)^2} = \frac{-(x-1)^2-y^2+2y^2}{((x-1)^2+y^2)^2} = \frac{y^2-(x-1)^2}{((x-1)^2+y^2)^2}$$ $$Q_1 = \frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}$$ $$\frac{\partial Q_1}{\partial x} = \frac{((x-1)^2+y^2) - (x-1) \cdot 2(x-1)}{((x-1)^2+y^2)^2} = \frac{y^2-(x-1)^2}{((x-1)^2+y^2)^2}$$ לכן $\frac{\partial P_1}{\partial y} = \frac{\partial Q_1}{\partial x}$. באופן דומה עבור $\vec{F}_2$: $$\frac{\partial P_2}{\partial y} = \frac{y^2-(x+1)^2}{((x+1)^2+y^2)^2}$$ $$\frac{\partial Q_2}{\partial x} = \frac{y^2-(x+1)^2}{((x+1)^2+y^2)^2}$$ לכן $\frac{\partial P_2}{\partial y} = \frac{\partial Q_2}{\partial x}$.