שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2005 - ערכים עצמיים

תהי $A$ מטריצה סינגולרית מסדר $3 \times 3$. נתון כי: $|A - 2I| = |A + 2I| = 0$. מצאו את מימד מרחב הפתרונות של המערכת $A\underline{x} = \underline{0}$.

רמז: מהנתונים ניתן לזהות שלושה ערכים עצמיים שונים של $A$. מה ניתן לומר על הריבוי הגיאומטרי של הערך העצמי 0?

פתרון: **שלב 1: זיהוי הערכים העצמיים.** - $A$ סינגולרית $\Rightarrow \det(A) = 0 \Rightarrow |A - 0 \cdot I| = 0$, כלומר $\lambda_1 = 0$ ערך עצמי. - $|A - 2I| = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 2$ ערך עצמי. - $|A + 2I| = |A - (-2)I| = 0 \Rightarrow \lambda_3 = -2$ ערך עצמי. **שלב 2:** $A$ מסדר $3 \times 3$ ויש לה שלושה ערכים עצמיים שונים: $0, 2, -2$. הפולינום האופייני ממעלה 3, ולכל ערך עצמי הריבוי האלגברי לפחות 1. סכום הריבויים האלגבריים = 3. לכן הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי הוא בדיוק 1. **שלב 3:** הריבוי הגיאומטרי של $\lambda = 0$ הוא $\dim(\ker A) = \dim\{\underline{x} \mid A\underline{x} = \underline{0}\}$. מכיוון שהריבוי הגיאומטרי מקיים: $$1 \leq \text{ריבוי גיאומטרי} \leq \text{ריבוי אלגברי} = 1$$ נקבל שהריבוי הגיאומטרי של $\lambda = 0$ הוא 1. **לכן מימד מרחב הפתרונות של $A\underline{x} = \underline{0}$ הוא $\boxed{1}$.**