שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2024 - אי-שוויונות

יהיו $a, b, c > 0$ חיוביים המקיימים $a + b + c = 1$. הוכיחו כי לכל $x, y, z \ge 0$ עבורם $ax + by + cz = 1$ מתקיים $$x^a y^b z^c \le 1.$$

רמז: השתמשו באי-שוויון בין הממוצע האריתמטי לממוצע הגיאומטרי המשוקלל: $x^a y^b z^c \le ax + by + cz$ כאשר $a+b+c=1$. לחלופין, השתמשו בקמירות של $\ln$ (אי-שוויון ינסן).

פתרון: נשתמש באי-שוויון AM-GM המשוקלל (או אי-שוויון ינסן). הפונקציה $\ln$ היא קעורה (כי $\ln''(t) = -\frac{1}{t^2} < 0$ לכל $t > 0$). **מקרה 1:** אם $x, y, z > 0$, מאי-שוויון ינסן עבור $\ln$ (קעורה) עם משקלות $a, b, c > 0$ כך ש-$a+b+c=1$: $$\ln(x^a y^b z^c) = a\ln(x) + b\ln(y) + c\ln(z) \le \ln(ax + by + cz) = \ln(1) = 0.$$ לכן $x^a y^b z^c \le e^0 = 1$. **מקרה 2:** אם אחד מהמשתנים שווה 0, למשל $x = 0$, אז $x^a = 0$ (כי $a > 0$), ולכן $x^a y^b z^c = 0 \le 1$. בכל מקרה $x^a y^b z^c \le 1$. $\blacksquare$