שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2016 - טורים

א. קבעו לגבי הטור הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר: $\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\sqrt[4]{n}}{\ln n}$. ב. תהי $f(x)$ גזירה ב-$[0,1]$ ומתקיים $|f'(x)| \leq 8$ לכל $x \in [0,1]$ ו$\int_0^1 f(x) dx = 0$. הוכיחו כי $\left|\int_0^t f(x) dx\right| \leq 1$ לכל $0 \leq t \leq 1$. הדרכה: מספיק להוכיח כי האי-שוויון המבוקש מתקיים בנקודות קיצון של האינטגרל הבלתי מסוים.

רמז: א: בדקו את התנאי ההכרחי להתכנסות טורים, כלומר האם האיבר הכללי שואף לאפס. ב: הגדירו $F(t) = \int_0^t f(x)dx$ וחפשו את הקיצון שלה. השתמשו במשפט הערך הממוצע כדי לחסום את $|f(x)|$ סביב נקודת קיצון $t_0$ שבה $f(t_0)=0$.

פתרון: א. נבדוק את התכנסות הטור $\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\sqrt[4]{n}}{\ln n}$. ראשית, נבדוק את **התנאי ההכרחי להתכנסות** של כל טור, הקובע כי אם טור מתכנס, אז האיבר הכללי שלו שואף לאפס. במקרה שלנו, האיבר הכללי הוא $a_n = (-1)^n \frac{\sqrt[4]{n}}{\ln n}$. נחשב את הגבול של הערך המוחלט של האיבר הכללי: $$\lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[4]{n}}{\ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1/4}}{\ln n}$$ זהו גבול מהצורה "$\frac{\infty}{\infty}$", ולכן ניתן להשתמש בכלל לופיטל (עבור הפונקציה הממשית המתאימה $f(x) = \frac{x^{1/4}}{\ln x}$): $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{1/4}}{\ln x} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4}x^{-3/4}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{4} x^{1/4} = \infty$$ מכיוון ש-$\lim_{n \to \infty} |a_n| = \infty$, הגבול של האיבר הכללי, $\lim_{n \to \infty} a_n$, אינו קיים ובוודאי שאינו שווה לאפס. מאחר שהתנאי ההכרחי להתכנסות אינו מתקיים, על פי **מבחן הדיברגנץ**, הטור **מתבדר**. ב. נתונה פונקציה $f(x)$ גזירה ב-$[0,1]$ המקיימת $|f'(x)| \leq 8$ ו-$\int_0^1 f(x) dx = 0$. עלינו להוכיח כי $\left|\int_0^t f(x) dx\right| \leq 1$ לכל $0 \leq t \leq 1$. נגדיר פונקציה $F(t) = \int_0^t f(x) dx$ עבור $t \in [0,1]$. אנו רוצים להוכיח כי $|F(t)| \leq 1$ לכל $t$ בקטע. $F(t)$ היא פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום $[0,1]$, ולכן היא מקבלת שם ערך מקסימלי ומינימלי. נקודות הקיצון יכולות להתקבל בקצות הקטע או בנקודות קריטיות בתוך הקטע. בדיקת קצות הקטע: $F(0) = \int_0^0 f(x) dx = 0$. $F(1) = \int_0^1 f(x) dx = 0$ (על פי הנתון). בשני קצוות הקטע, $|F(t)|=0 \leq 1$, ולכן אי-השוויון מתקיים. בדיקת נקודות קיצון פנימיות: על פי **המשפט היסודי של החדו"א**, $F'(t) = f(t)$. נקודת קיצון פנימית $t_0 \in (0,1)$ חייבת לקיים $F'(t_0) = 0$, כלומר $f(t_0) = 0$. כעת נשתמש בנתון $|f'(x)| \leq 8$. על פי **משפט הערך הממוצע של לגראנז'**, לכל $x \in [0,1]$ קיים $c$ בין $x$ ל-$t_0$ כך ש: $$f(x) - f(t_0) = f'(c)(x-t_0)$$ מאחר ו-$f(t_0)=0$, נקבל $f(x) = f'(c)(x-t_0)$. ניקח ערך מוחלט ונקבל: $$|f(x)| = |f'(c)| |x-t_0| \leq 8|x-t_0|$$ כעת נחסום את הערך של $F$ בנקודת הקיצון $t_0$ בשתי דרכים: 1. חישוב ישיר: $$|F(t_0)| = \left| \int_0^{t_0} f(x) dx \right| \leq \int_0^{t_0} |f(x)| dx \leq \int_0^{t_0} 8|x-t_0| dx$$ מכיוון ש-$x \in [0, t_0]$, מתקיים $x-t_0 \leq 0$, ולכן $|x-t_0|=t_0-x$. $$|F(t_0)| \leq \int_0^{t_0} 8(t_0-x) dx = 8\left[t_0x - \frac{x^2}{2}\right]_0^{t_0} = 8\left(t_0^2 - \frac{t_0^2}{2}\right) = 4t_0^2$$ 2. שימוש בנתון על האינטגרל: מהנתון $\int_0^1 f(x) dx = 0$, נובע כי $\int_0^{t_0} f(x) dx + \int_{t_0}^1 f(x) dx = 0$, כלומר $\int_0^{t_0} f(x) dx = -\int_{t_0}^1 f(x) dx$. לכן, $F(t_0) = -\int_{t_0}^1 f(x) dx$. ניקח ערך מוחלט ונחסום: $$|F(t_0)| = \left| -\int_{t_0}^1 f(x) dx \right| = \left| \int_{t_0}^1 f(x) dx \right| \leq \int_{t_0}^1 |f(x)| dx \leq \int_{t_0}^1 8|x-t_0| dx$$ מכיוון ש-$x \in [t_0, 1]$, מתקיים $x-t_0 \geq 0$, ולכן $|x-t_0|=x-t_0$. $$|F(t_0)| \leq \int_{t_0}^1 8(x-t_0) dx = 8\left[\frac{x^2}{2} - t_0x\right]_{t_0}^1 = 8\left( (\frac{1}{2}-t_0) - (\frac{t_0^2}{2}-t_0^2) \right) = 8(\frac{1}{2}-t_0+\frac{t_0^2}{2}) = 4(1-2t_0+t_0^2) = 4(1-t_0)^2$$ קיבלנו שני חסמים על $|F(t_0)|$: $|F(t_0)| \leq 4t_0^2$ וגם $|F(t_0)| \leq 4(1-t_0)^2$. לכן, $|F(t_0)| \leq \min\{4t_0^2, 4(1-t_0)^2\}$. נמצא את הערך המקסימלי של הפונקציה $g(t) = \min\{4t^2, 4(1-t)^2\}$ בקטע $(0,1)$. הערך המקסימלי מתקבל כאשר $4t^2 = 4(1-t)^2$, כלומר $t^2 = (1-t)^2$. מכיוון ש-$t \in (0,1)$, הפתרון הוא $t=1-t$, שנותן $t=1/2$. בנקודה זו, הערך המקסימלי הוא $g(1/2) = 4(1/2)^2 = 1$. לכן, לכל נקודת קיצון פנימית $t_0$, מתקיים $|F(t_0)| \leq 1$. מאחר שבקצות הקטע $|F(t)|=0 \leq 1$ ובכל נקודת קיצון פנימית $|F(t_0)| \leq 1$, והערך המקסימלי של $|F(t)|$ חייב להתקבל באחת מנקודות אלו, הרי שלכל $t \in [0,1]$ מתקיים $|F(t)| \leq 1$.$\blacksquare$