שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - אינטגרלים

חשבו את האינטגרל $\displaystyle\int_0^{\ln 2} e^{4x} e^{e^x}\, dx$.

רמז: הציבו $u = e^x$ כדי לפשט את $e^{4x}e^{e^x}\,dx$, ואז השתמשו באינטגרציה בחלקים חוזרת לחישוב $\int u^3 e^u\,du$.

פתרון: **הצבה:** $u = e^x$, $du = e^x\,dx$, לכן $dx = du/u$. כאשר $x=0$: $u=1$; כאשר $x=\ln 2$: $u=2$. כמו כן $e^{4x} = u^4$ ו-$e^{e^x} = e^u$: $$\int_0^{\ln 2} e^{4x} e^{e^x}\,dx = \int_1^2 u^4 e^u \cdot \frac{du}{u} = \int_1^2 u^3 e^u\,du$$ **אינטגרציה בחלקים חוזרת** ($\int u^n e^u\,du = u^n e^u - n\int u^{n-1}e^u\,du$): $$\int u^3 e^u\,du = u^3 e^u - 3\int u^2 e^u\,du$$ $$= u^3 e^u - 3\left(u^2 e^u - 2\int u e^u\,du\right)$$ $$= u^3 e^u - 3u^2 e^u + 6\left(ue^u - e^u\right)$$ $$= e^u\left(u^3 - 3u^2 + 6u - 6\right) + C$$ **הצבת גבולות:** - ב-$u=2$: $e^2(8-12+12-6) = 2e^2$ - ב-$u=1$: $e(1-3+6-6) = -2e$ $$\int_1^2 u^3 e^u\,du = 2e^2 - (-2e) = \boxed{2e^2 + 2e}$$