שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת בר-אילן 2023

תרגיל 3 א. הוכיחו/הפריכו: אם $f_n(x)$ סדרת פונקציות המוגדרות ב-$[a,b]$ המתכנסת במידה שווה ל-$f(x)$ ב-$[a,b]$, ואם כל אחת מ-$f_n(x)$ חסומה, אז גם $f(x)$ חסומה. ב. הוכיחו/הפריכו: אם $f_n(x)$ סדרת פונקציות המוגדרות ב-$[a,b]$ המתכנסת במידה שווה ל-$f(x)$ ב-$[a,b]$, ואם $f(x)$ חסומה, אז כל $f_n(x)$ חסומה. ג. תהי $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ פונקציה רציפה, ותהי $f_n(x)$ סדרת פונקציות המוגדרות ב-$[0,1]$ המתכנסת במידה שווה ל-$f(x)$ ב-$[0,1]$. הוכיחו/הפריכו: קיים מיקום $N$ כך שלכל $n>N$ הפונקציה $f_n(x)$ רציפה. ד. תהי $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ פונקציה רציפה, ותהי $f_n(x)$ סדרת פונקציות המוגדרות ב-$[0,1]$ המתכנסת במידה שווה ל-$f(x)$ ב-$[0,1]$. הוכיחו/הפריכו: קיים מיקום $N$ כך שלכל $n>N$ הפונקציה $f_n(x)$ חסומה.