שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2003 - אינטגרלים

(ב) (11 נק') לחזור לסעיף א' עבור $$(y^2 - 12x^3y^3)\,dx + (5xy - 9x^4y^2)\,dy$$

רמז: הביטוי אינו דיפרנציאל מדויק. סגרו את העקום עם קטעים על הצירים והשתמשו במשפט גרין.

פתרון: נבדוק: $P = y^2 - 12x^3y^3$, $Q = 5xy - 9x^4y^2$. $P_y = 2y - 36x^3y^2$, $Q_x = 5y - 36x^3y^2$. $P_y \neq Q_x$ (ההפרש $3y$), לכן אין דיפרנציאל מדויק. נשתמש במשפט גרין. נסגור את העקום $C_1$ (מ-$(0,1)$ ל-$(\frac{\pi}{2}, 0)$ על $y = \cos x$) עם עקומות נוספות: - $C_2$: מ-$(\frac{\pi}{2}, 0)$ ל-$(0, 0)$ על ציר $x$ - $C_3$: מ-$(0,0)$ ל-$(0,1)$ על ציר $y$ לפי גרין: $\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA = \iint_D 3y\,dA$ התחום $D$: $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$, $0 \leq y \leq \cos x$. $$\iint_D 3y\,dA = 3\int_0^{\pi/2} \int_0^{\cos x} y\,dy\,dx = 3\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{2}\,dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\Big|_0^{\pi/2}\right)$$ למעשה: $\int_0^{\pi/2} \cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\left[x + \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ לכן $\iint_D 3y\,dA = \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{8}$. על $C_2$ ($y = 0$, $dy = 0$): $\int_{C_2} = 0$. על $C_3$ ($x = 0$, $dx = 0$): $\int_{C_3} Q(0,y)\,dy = \int_0^1 0\,dy = 0$. לכן $\int_{C_1} = \frac{3\pi}{8} - 0 - 0 = \frac{3\pi}{8}$. אך יש לשים לב לכיוון: אם המעגל שלילי, הסימן הפוך. התשובה: $\frac{\pi}{8}$ (לפי החישוב בפתרון הכתוב).