שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2020 - טור פונקציות

נגדיר $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\sin\frac{\pi x}{n}$. מצאו את תחום הגדרתה של $f(x)$ והוכיחו ש-$f(x)$ גזירה בתחום זה.

רמז: לתחום: אמדו $|\sin(\pi x/n)/\sqrt{n}| \le \pi|x|/n^{3/2}$ ובדקו עבור אילו $x$ הטור מתכנס. לגזירות: הוכיחו שהטור המגוזר מתכנס במידה שווה על כל קטע סגור.

פתרון: **תחום הגדרה:** לכל $x \in \mathbb{R}$ קבוע ולכל $n$: $\left|\frac{\sin(\pi x/n)}{\sqrt{n}}\right| \le \frac{|\pi x/n|}{\sqrt{n}} = \frac{\pi|x|}{n^{3/2}}$. מכיוון ש-$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ מתכנס (טור $p$ עם $p=3/2>1$), ממבחן ויירשטראס הטור מתכנס בהחלט לכל $x \in \mathbb{R}$. **תחום הגדרה: $\mathbb{R}$.** **גזירות:** הטור המגוזר (אבר-אבר): $$f'(x) \stackrel{?}{=} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi x}{n} = \pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(\pi x/n)}{n^{3/2}}.$$ לכל קטע סגור $[-R,R]$: $\left|\frac{\cos(\pi x/n)}{n^{3/2}}\right| \le \frac{1}{n^{3/2}}$, וממבחן ויירשטראס הטור המגוזר מתכנס במידה שווה על $[-R,R]$. לפיכך $f$ גזירה על $\mathbb{R}$ ו-$f'(x) = \pi\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(\pi x/n)}{n^{3/2}}$.