פתרון: **$R\geq 1$:** הטור $\sum a_n x^n$ ב-$x=1$ הוא $\sum a_n$ שמתכנס — לכן רדיוס ההתכנסות $R\geq 1$.
**$R\leq 1$:** נניח בשלילה $R>1$. אז קיים $r>1$ כך שהטור מתכנס בהחלט ב-$x=r$, כלומר $\sum|a_n|r^n<\infty$. מאחר ש-$r>1$, מתקיים $|a_n|r^n\geq|a_n|$ לכל $n$, ולכן:
$$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\leq\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|r^n<\infty$$
כלומר $\sum a_n$ מתכנס **בהחלט** — **סתירה** לכך שהוא מתכנס בתנאי.
**מסקנה:** $R=1$. $\blacksquare$
הוכיחו שאם הטור ∑n=1∞an מתכנס בתנאי, אז רדיוס ההתכנסות של טור החזקות ∑n=1∞anxn הוא 1.
**R≥1:** הטור ∑anxn ב-x=1 הוא ∑an שמתכנס — לכן רדיוס ההתכנסות R≥1.
**R≤1:** נניח בשלילה R>1. אז קיים r>1 כך שהטור מתכנס בהחלט ב-x=r, כלומר ∑∣an∣rn<∞. מאחר ש-r>1, מתקיים ∣an∣rn≥∣an∣ לכל n, ולכן: n=1∑∞∣an∣≤n=1∑∞∣an∣rn<∞ כלומר ∑an מתכנס בהחלט — סתירה לכך שהוא מתכנס בתנאי.