שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת בר-אילן 2012 - אינטגרל לא מסוים

$$\int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\, dx$$

רמז: הכפל את המונה והמכנה שבתוך השורש ב-$(1-\sqrt{x})$, כך שהשורש יהפוך ל-$\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$. לאחר מכן השתמש בהצבה טריגונומטרית $\sqrt{x} = \sin(t)$ או $x = \sin^2(t)$.

פתרון: נציב $x = \sin^2(t)$ ולכן $dx = 2\sin(t)\cos(t)\, dt$ ו-$\sqrt{x} = \sin(t)$. אז $\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{1-\sin t}{1+\sin t}$, וכפל במצומד נותן $\frac{(1-\sin t)^2}{\cos^2 t}$, כך שהשורש שווה ל-$\frac{1-\sin t}{\cos(t)}$. האינטגרל הופך ל-$\int \frac{1-\sin t}{\cos(t)} \cdot 2\sin(t)\cos(t)\, dt = 2\int (\sin t - \sin^2 t)\, dt = 2\int \sin t\, dt - \int (1-\cos 2t)\, dt = -2\cos(t) - t + \frac{1}{2}\sin(2t) + C$. בחזרה למשתנה $x$: $t = \arcsin(\sqrt{x})$, $\cos(t) = \sqrt{1-x}$, $\sin(2t) = 2\sqrt{x}\cdot\sqrt{1-x}$, ולכן התוצאה היא: $\sqrt{x(1-x)} + \sqrt{1-x}\cdot\ldots$ כלומר: $\sqrt{1-x}\cdot(\sqrt{x} - 2) - \arcsin(\sqrt{x}) + \sqrt{x-x^2} + C$, שמצטמצם ל: $\sqrt{x-x^2} - 2\sqrt{1-x} - \arcsin(\sqrt{x}) + \sqrt{x-x^2} + C = \sqrt{x(1-x)} - \arcsin(\sqrt{x}) - 2\sqrt{1-x} + \sqrt{x-x^2} + C$. כתיבה מסודרת: $I = \sqrt{x-x^2} - \arcsin(\sqrt{x}) + \sqrt{x-x^2} - 2\sqrt{1-x} + C$, ולאחר פישוט סופי מקבלים $I = \sqrt{x(1-x)} - \arcsin(\sqrt{x}) + C$ כאשר נכלל הקבוע.