שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2018 - אינטגרלים

מצאו $$\min_{a,b} \int_{-\pi}^{\pi} |x - ae^{ix} - be^{5ix}|^2 \, dx$$

רמז: השתמשו באורתוגונליות של $e^{inx}$ ובמשפט פרסוואל. המינימום מושג כאשר $a$ ו-$b$ הם מקדמי פורייה של $x$.

פתרון: נפתח את הביטוי באמצעות אורתוגונליות של הפונקציות $e^{inx}$ ב-$L_2[-\pi, \pi]$. נזכור שלכל $n, m \in \mathbb{Z}$: $$\int_{-\pi}^{\pi} e^{inx} \overline{e^{imx}} dx = \begin{cases} 2\pi & n = m \\ 0 & n \neq m \end{cases}$$ נפתח את $x$ כטור פורייה: מקדמי פורייה של $f(x) = x$: $$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x e^{-inx} dx$$ עבור $n = 0$: $c_0 = 0$ (כי $x$ אי-זוגית). עבור $n \neq 0$: באינטגרציה בחלקים: $$c_n = \frac{(-1)^{n+1}}{in} \cdot \frac{1}{1} = \frac{(-1)^{n+1}}{in}$$ לפי משפט פרסוואל: $$\int_{-\pi}^{\pi} |x - ae^{ix} - be^{5ix}|^2 dx = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n - a\delta_{n,1} - b\delta_{n,5}|^2$$ המינימום מושג כאשר $a = c_1$ ו-$b = c_5$ (כלומר בוחרים את המקדמים להיות מקדמי פורייה). $c_1 = \frac{(-1)^{2}}{i} = \frac{1}{i} = -i$ $c_5 = \frac{(-1)^{6}}{5i} = \frac{1}{5i} = -\frac{i}{5}$ לכן $a = -i$ ו-$b = -\frac{i}{5}$. המינימום הוא: $$2\pi \left(\sum_{n \neq 1, 5} |c_n|^2\right) = 2\pi\left(\frac{\pi^2}{3} - \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2}\right) \cdot \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi$$ נשתמש ב-$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{2\pi^3}{3}$, ולכן $\sum |c_n|^2 = \frac{\pi^2}{3}$. המינימום: $$2\pi\left(\frac{\pi^2}{3} - 1 - \frac{1}{25}\right) = \frac{2\pi^3}{3} - 2\pi - \frac{2\pi}{25} = \frac{2\pi^3}{3} - \frac{52\pi}{25}$$