שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2022 - נגזרות חלקיות

נגדיר $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ על ידי $f(x,y,z) = xy + z^2$ לכל $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. נגדיר את הקבוצות $$P = \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 4\right\}, \quad S = \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x = y\right\}.$$ הוכיחו כי $f$ מקבלת מינימום ומקסימום על הקבוצה $P \cap S$ ומצאו אותם.

רמז: הציבו את האילוץ $x=y$ ב-$f$ ובמשוואת הספרה כדי לרדד לבעיה חד-ממדית: $f = 4 - x^2$ כאשר $x^2 \leq 2$.

פתרון: **קיום:** $P \cap S = \{(x,y,z) : x^2+y^2+z^2=4, x=y\}$. זו קבוצה סגורה (חיתוך סגורות) וחסומה (תת-קבוצה של הספרה $r=2$). $f$ רציפה. לפי **משפט ויירשטראס**, $f$ מקבלת מינימום ומקסימום. **מציאת הערכים:** על $P \cap S$ מתקיים $x = y$, לכן $f = x \cdot x + z^2 = x^2 + z^2$ והאילוץ הוא $2x^2 + z^2 = 4$. ניתן לפתור ישירות: $z^2 = 4 - 2x^2$, ולכן: $$f = x^2 + z^2 = x^2 + 4 - 2x^2 = 4 - x^2$$ התחום: $z^2 = 4 - 2x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 2$, כלומר $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. $g(x) = 4 - x^2$ על $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$: פרבולה הפוכה. - $g'(x) = -2x = 0 \implies x = 0$: $g(0) = 4$ (מקסימום) - $g(\pm\sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$ (מינימום) **מקסימום:** $f = 4$ בנקודות $(0, 0, \pm 2)$. **מינימום:** $f = 2$ בנקודות $(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)$ ו-$(-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0)$.