שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - מקלורן

היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את גבול הסדרה הבאה: $$\lim_{n\to\infty}\left(n^2 - n\cot\frac{1}{n}\right).$$

רמז: הציבו $t=1/n\to 0$ וחשבו את $\lim_{t\to 0}(1-t\cot t)/t^2$. השתמשו בפיתוח $\cot t = 1/t - t/3 - t^3/45 - \cdots$.

פתרון: נציב $t=1/n\to 0^+$: $$n^2 - n\cot\frac{1}{n} = \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t}\cot t = \frac{1-t\cot t}{t^2}.$$ נשתמש בפיתוח: $\cot t = \dfrac{1}{t} - \dfrac{t}{3} - \dfrac{t^3}{45} - \cdots$, ולכן: $$t\cot t = 1 - \frac{t^2}{3} - \frac{t^4}{45} - \cdots$$ $$1 - t\cot t = \frac{t^2}{3} + \frac{t^4}{45} + \cdots$$ $$\frac{1-t\cot t}{t^2} = \frac{1}{3} + O(t^2) \xrightarrow{t\to 0} \frac{1}{3}.$$ לכן $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(n^2-n\cot\frac{1}{n}\right) = \boxed{\dfrac{1}{3}}$. $\blacksquare$