קורס: אינפי 2 / חדו"א 2
אוניברסיטה: אוניברסיטת תל אביב
שנה: 2003
סמסטר: א
נושאים: אינטגרלים, הוכחה
רמת קושי: בינוני-קשה
(א) (18 נק') לאמת את משפט סטוקס עבור $\vec{F} = (y, xz, x^2)$ ומשטח $S$ עם כיוון שלילי, כאשר $C$ הוא שפת המשולש עם קודקודים $(0,0,1)$, $(0,1,0)$, $(1,0,0)$.
רמז: חשבו בנפרד את שני הצדדים: אינטגרל קווי על שפת המשולש (3 קטעים) ואינטגרל משטחי של הרוטור על המישור $x+y+z=1$.
פתרון: **צד ימין (משפט סטוקס) - אינטגרל משטחי:**
$\operatorname{curl} \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial x^2}{\partial y} - \frac{\partial(xz)}{\partial z}, \frac{\partial y}{\partial z} - \frac{\partial x^2}{\partial x}, \frac{\partial(xz)}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y}\right) = (-x, -2x, z-1)$
משוואת המישור דרך $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$: $x + y + z = 1$.
וקטורים: $(0,1,0)-(0,0,1) = (0,1,-1)$ ו-$(1,0,0)-(0,0,1) = (1,0,-1)$.
נורמל: $(0,1,-1) \times (1,0,-1) = (-1+0, -1+0, 0-1) = ... $
למעשה הנורמל למישור $x+y+z=1$ הוא $(1,1,1)$ (מנורמל: $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$).
פרמטריזציה: $z = 1-x-y$, $(x,y) \in D$ כאשר $D = \{(x,y): x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1\}$.
$$\iint_S \operatorname{curl}\vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_D (-x, -2x, z-1) \cdot (1,1,1)\,dA$$
$$= \iint_D (-x - 2x + (1-x-y) - 1)\,dA = \iint_D (-4x - y)\,dA$$
למעשה: $= \iint_D (-x - 2x + (-x-y))\,dA = \iint_D (-4x-y)\,dA$
$$= \int_0^1 \int_0^{1-x} (-4x-y)\,dy\,dx = \int_0^1 \left[-4xy - \frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x}\,dx$$
$$= \int_0^1 \left(-4x(1-x) - \frac{(1-x)^2}{2}\right)\,dx$$
$$= \int_0^1 (-4x + 4x^2 - \frac{1}{2} + x - \frac{x^2}{2})\,dx = \int_0^1 (\frac{7x^2}{2} - 3x - \frac{1}{2})\,dx$$
$$= \left[\frac{7x^3}{6} - \frac{3x^2}{2} - \frac{x}{2}\right]_0^1 = \frac{7}{6} - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7-9-3}{6} = -\frac{5}{6}$$
**צד שמאל - אינטגרל קווי:**
מסלול $C = C_1 \cup C_2 \cup C_3$ (שפת המשולש):
$C_1$: מ-$(0,0,1)$ ל-$(0,1,0)$: $\vec{r}(t) = (0,t,1-t)$, $t: 0 \to 1$.
$\int_{C_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (t, 0, 0) \cdot (0,1,-1)\,dt = 0$
$C_2$: מ-$(0,1,0)$ ל-$(1,0,0)$: $\vec{r}(t) = (t, 1-t, 0)$, $t: 0 \to 1$.
$\int_{C_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (1-t, 0, t^2) \cdot (1,-1,0)\,dt = \int_0^1 (1-t)\,dt = \frac{1}{2}$
$C_3$: מ-$(1,0,0)$ ל-$(0,0,1)$: $\vec{r}(t) = (1-t, 0, t)$, $t: 0 \to 1$.
$\int_{C_3} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (0, (1-t)t, (1-t)^2) \cdot (-1, 0, 1)\,dt = \int_0^1 (1-t)^2\,dt = \frac{1}{3}$
סה"כ: $0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$
הסימן תלוי בכיוון הנורמל (שלילי כנתון), ולכן $\frac{5}{6}$ תואם $-\frac{5}{6}$ מהצד השני עם סימן הפוך. משפט סטוקס מאומת. $\blacksquare$