שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - ספקטרום

א. אופרטור לינארי $A$ נקרא נילפוטנטי (nilpotent) אם קיים $n$ טבעי כך ש- $A^n = 0$. הראו כי $\sigma(A) = \{0\}$ לכל אופרטור נילפוטנטי $A \in \mathcal{L}(H)$ (מדובר במרחב מרוכב $H$). ב. יהי $f$ פונקציונל לינארי במרחב וקטורי מרוכב $V$. הוכיחו כי אם $f(V) \neq \mathbb{C}$ אז $f(V) = \{0\}$ (כאשר, כרגיל, $f(V) = \{f(v) : v \in V\}$).

רמז: לסעיף א: אפסיות $A^n$ מאפשרת שימוש בטור נוימן ל-$\lambda\neq 0$, ואי-ריקות הספקטרום כופה $0\in\sigma(A)$. לסעיף ב: אם $f$ מקבלת ערך שאינו אפס, ניתן לקבל כל ערך מרוכב על ידי כפל בסקלר מתאים.

פתרון: **סעיף א:** יהי $\lambda \neq 0$. מכיוון ש-$A^n = 0$, מתקיים: $$\left\|\left(\frac{1}{\lambda}A\right)^n\right\| = \frac{\|A^n\|}{|\lambda^n|} = 0 < 1$$ לכן לפי **משפט 3.14**, האופרטור $I - \dfrac{1}{\lambda}A$ הפיך (כאשר האופרטור ההפוך חסום). לכן: $$\lambda I - A = \lambda\left(I - \frac{1}{\lambda}A\right)$$ הפיך, משמע $\lambda \notin \sigma(A)$ לכל $\lambda \neq 0$. לפי **משפט 5.20** (הספקטרום של אופרטור ב-$\mathcal{L}(H)$ אינו ריק), $\sigma(A) \neq \emptyset$. מכך ומכך שהוכחנו ש-$\sigma(A) \subseteq \{0\}$, נסיק: $$\sigma(A) = \{0\} \quad \blacksquare$$ --- **סעיף ב:** נניח שקיים $v \in V$ כך ש-$f(v) = a \neq 0$. אז לכל $c \in \mathbb{C}$: $$f\left(\frac{c}{a}v\right) = \frac{c}{a}f(v) = c$$ משמע $c \in \mathrm{Im}\, f$. לכן $f(V) = \mathbb{C}$, בסתירה לנתון. לכן לא קיים $v \in V$ כך ש-$f(v) \neq 0$, כלומר $f(V) = \{0\}$. $\blacksquare$