קורס: אינפי 2 / חדו"א 2
אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה
שנה: 2022
סמסטר: ג
נושאים: מקלורן, נוסחת טיילור
רמת קושי: קל-בינוני
היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול:
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-2x^2-2\tan x-1}{2x(1-\cos x)}$$
רמז: פתחו את $e^{2x}$, $\tan x$ ו-$(1-\cos x)$ בסדר שלישי. שימו לב שהמכנה $2x(1-\cos x) \sim x^3$ ולכן נדרש מנה מסדר $x^3$.
פתרון: **פיתוח מקלורן:**
$$e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + O(x^4)$$
$$2\tan x = 2x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$$
$$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + O(x^4)$$
**המונה:**
$$e^{2x} - 2x^2 - 2\tan x - 1 = \left(1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}\right) - 2x^2 - \left(2x+\frac{2x^3}{3}\right) - 1 + O(x^4)$$
$$= \frac{4x^3}{3} - \frac{2x^3}{3} + O(x^4) = \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$$
**המכנה:**
$$2x(1-\cos x) = 2x \cdot \frac{x^2}{2} + O(x^5) = x^3 + O(x^5)$$
**הגבול:**
$$\lim_{x\to 0}\frac{\frac{2x^3}{3}+O(x^4)}{x^3+O(x^5)} = \frac{2/3}{1} = \boxed{\frac{2}{3}}$$