שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2022

קורס: אנליזה פונקציונלית

אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה

שנה: 2022

סמסטר: ב

נושאים: אופרטור הרמיטי, אופרטור אוניטרי, אופרטורים קומפקטיים, ערכים עצמיים, ספקטרום, נורמת אופרטור, התכנסות נקודתית, מרחבי לפ

רמת קושי: בינוני-קשה

יהי $A_n$ אופרטור לינארי במרחב $\ell^2$ ההופך את הסדר של $n$ הרכיבים הראשונים ומשאיר את שאר הרכיבים ללא שינוי, כלומר: $$A_n(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-1}, \xi_n, \xi_{n+1}, \ldots) = (\xi_n, \xi_{n-1}, \ldots, \xi_2, \xi_1, \xi_{n+1}, \ldots)$$ א. האם $A_n$ צמוד לעצמו? אוניטרי? קומפקטי? ב. מצאו את הערכים העצמיים של $A_n$ והראו כי עבור $\lambda \neq \pm 1$ מתקיים: $$(\lambda I - A_n)^{-1} = \frac{1}{\lambda^2 - 1}(\lambda I + A_n)$$ ג. האם הסדרה $\{A_n\}$ מתכנסת נקודתית ב-$\ell^2$? האם היא מתכנסת בנורמה של אופרטורים?

רמז: האופרטור $A_n$ הוא פרמוטציה של הרכיבים הראשונים — הוא צמוד לעצמו ואוניטרי בשל סימטריה. הנוסחה להופכי נובעת מהזהות $(\lambda I - A_n)(\lambda I + A_n) = (\lambda^2-1)I$ המתקיימת כי $A_n^2 = I$.

פתרון: **א. תכונות של $A_n$:** נבסס על שלוש תכונות: **(1)** $\|A_n x\| = \sqrt{\sum_{k=1}^\infty |\xi_k|^2} = \|x\|$ לכל $x \in \ell^2$ (האופרטור הוא **איזומטריה**). **(2)** $A_n(A_n(x)) = x$ לכל $x \in \ell^2$, כלומר $A_n^2 = I$, ולכן $A_n^{-1} = A_n$. **(3)** $\langle A_n x, y\rangle = \langle x, A_n y\rangle$ לכל $x, y \in \ell^2$, כלומר $A_n^* = A_n$. מ-(3): $A_n$ **צמוד לעצמו**. מ-(1)+(2): $A_n$ **אוניטרי** (מ-(1) נובע שהוא איזומטריה, מ-(2) נובע שהוא על). דרך שקולה: מ-(2)+(3) נסיק $A_n^{-1} = A_n^*$ (הגדרה 4.18). $A_n$ **אינו קומפקטי** כי הוא אופרטור אוניטרי במרחב אינסוף-ממדי. --- **ב. ערכים עצמיים ונוסחת ההופכי:** מ-(2) נסיק: אם $\lambda$ **ע"ע** של $A_n$ אז $\lambda^2 = 1$, ולכן $\lambda \neq \pm 1$ אינו ע"ע. הערכים העצמיים הם: - $\lambda = 1$: $A_n(e_{n+1}) = e_{n+1}$, כלומר $\lambda=1$ הוא **ע"ע** של $A_n$. - $\lambda = -1$: $A_n(e_1 - e_n) = e_n - e_1 = -(e_1 - e_n)$ (עבור $n \geq 2$), כלומר $\lambda = -1$ הוא **ע"ע** של $A_n$. עבור $\lambda \neq \pm 1$: $$(\lambda I - A_n)(\lambda I + A_n) = \lambda^2 I - A_n^2 \underset{(2)}{=} \lambda^2 I - I = (\lambda^2 - 1)I$$ ולכן: $$(\lambda I - A_n)^{-1} = \frac{1}{\lambda^2 - 1}(\lambda I + A_n) \quad \blacksquare$$ --- **ג. התכנסות הסדרה $\{A_n\}$:** לכל $x$ עבורו $\xi_1 \neq 0$: הרכיב ה-$(n+1)$ של $A_{n+1}x - A_n x$ הוא $\xi_1 - \xi_{n+1}$, ולכן: $$\|A_{n+1}x - A_n x\| \geq |\xi_1 - \xi_{n+1}| \to |\xi_1| \neq 0$$ לכן $\{A_n x\}$ **אינה סדרת קושי** ולכן **אינה מתכנסת**. מכיוון שהתכנסות בנורמה גוררת **התכנסות נקודתית**, $\{A_n\}$ **לא מתכנסת גם בנורמה של אופרטורים**. $\blacksquare$

יהי

A_{n}

אופרטור לינארי במרחב

ℓ^{2}

ההופך את הסדר של

n

הרכיבים הראשונים ומשאיר את שאר הרכיבים ללא שינוי, כלומר:

A_{n} (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - 1}, ξ_{n}, ξ_{n + 1}, \dots) = (ξ_{n}, ξ_{n - 1}, \dots, ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{n + 1}, \dots)

א. האם

A_{n}

צמוד לעצמו? אוניטרי? קומפקטי?

ב. מצאו את הערכים העצמיים של

A_{n}

והראו כי עבור

λ \neq = \pm 1

מתקיים:

(λ I - A_{n})^{- 1} = \frac{1}{λ ^{2} - 1} (λ I + A_{n})

ג. האם הסדרה

{A_{n}}

מתכנסת נקודתית ב-

ℓ^{2}

? האם היא מתכנסת בנורמה של אופרטורים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב2022סמסטר ב

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור אוניטריאופרטורים קומפקטייםערכים עצמייםספקטרוםנורמת אופרטורהתכנסות נקודתיתמרחבי לפ

האופרטור

A_{n}

הוא פרמוטציה של הרכיבים הראשונים — הוא צמוד לעצמו ואוניטרי בשל סימטריה. הנוסחה להופכי נובעת מהזהות

(λ I - A_{n}) (λ I + A_{n}) = (λ^{2} - 1) I

המתקיימת כי

A_{n}^{2} = I

א. תכונות של

A_{n}

:

נבסס על שלוש תכונות:

(1)

∥ A_{n} x ∥ = \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ ξ_{k} ∣^{2} = ∥ x ∥

לכל

x \in ℓ^{2}

(האופרטור הוא איזומטריה).

(2)

A_{n} (A_{n} (x)) = x

לכל

x \in ℓ^{2}

, כלומר

A_{n}^{2} = I

, ולכן

A_{n}^{- 1} = A_{n}

.

(3)

⟨ A_{n} x, y ⟩ = ⟨ x, A_{n} y ⟩

לכל

x, y \in ℓ^{2}

, כלומר

A_{n}^{*} = A_{n}

.

מ-(3):

A_{n}

צמוד לעצמו.

מ-(1)+(2):

A_{n}

אוניטרי (מ-(1) נובע שהוא איזומטריה, מ-(2) נובע שהוא על). דרך שקולה: מ-(2)+(3) נסיק

A_{n}^{- 1} = A_{n}^{*}

(הגדרה 4.18).

A_{n}

אינו קומפקטי כי הוא אופרטור אוניטרי במרחב אינסוף-ממדי.

---

ב. ערכים עצמיים ונוסחת ההופכי:

מ-(2) נסיק: אם

λ

ע"ע של

A_{n}

אז

λ^{2} = 1

, ולכן

λ \neq = \pm 1

אינו ע"ע.

הערכים העצמיים הם:

$λ = 1$ : $A_{n} (e_{n + 1}) = e_{n + 1}$ , כלומר $λ = 1$ הוא ע"ע של $A_{n}$ .
$λ = - 1$ : $A_{n} (e_{1} - e_{n}) = e_{n} - e_{1} = - (e_{1} - e_{n})$ (עבור $n \geq 2$ ), כלומר $λ = - 1$ הוא ע"ע של $A_{n}$ .

עבור

λ \neq = \pm 1

(λ I - A_{n}) (λ I + A_{n}) = λ^{2} I - A_{n}^{2} (2) = λ^{2} I - I = (λ^{2} - 1) I

ולכן:

(λ I - A_{n})^{- 1} = \frac{1}{λ ^{2} - 1} (λ I + A_{n}) ■

---

ג. התכנסות הסדרה

{A_{n}}

:

לכל

x

עבורו

ξ_{1} \neq = 0

: הרכיב ה-

(n + 1)

של

A_{n + 1} x - A_{n} x

הוא

ξ_{1} - ξ_{n + 1}

, ולכן:

∥ A_{n + 1} x - A_{n} x ∥ \geq ∣ ξ_{1} - ξ_{n + 1} ∣ \to ∣ ξ_{1} ∣ \neq = 0

לכן

{A_{n} x}

אינה סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת.

מכיוון שהתכנסות בנורמה גוררת התכנסות נקודתית,

{A_{n}}

לא מתכנסת גם בנורמה של אופרטורים.

■

שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - אופרטור הרמיטי