שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - אופרטורים קומפקטיים

א. יהיו $A_{jk} \in L(H)$ לכל $j, k = 1, 2$. נגדיר $K: H \oplus H \to H \oplus H$ על-ידי $K = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$. הוכח כי $K$ קומפקטי אם ורק אם $A_{jk}$ קומפקטיים לכל $j, k = 1, 2$. ב. יהי $C(\mathbb{R})$ מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-$\mathbb{R}$ עם נורמה $\|f\| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|$. בדוק ש-$C(\mathbb{R})$ הוא מרחב בנך. נקבע $x_0 \in \mathbb{R}$ ונגדיר $T$ אופרטור לינארי על-ידי $(Tf)(x) = f(x - x_0)$. הראה כי $T$ אופרטור לינארי אוניטרי במרחב זה.

רמז: לסעיף א: כל $A_{jk}$ ניתן לכתיב כמכפלת הטלות ב-$K$; לכיוון השני כל $K_{jk}$ קומפקטי בנפרד והסכום שומר קומפקטיות. לסעיף ב: האיזומטריה נובעת מחילוף משתנה בסופרמום, והסריאטיביות מהגדרת $f(x)=g(x+x_0)$.

פתרון: **סעיף א:** **כיוון ראשון ($K$ קומפקטי $\Rightarrow$ $A_{jk}$ קומפקטיים):** נסמן ב-$P_1, P_2$ את ה**הטלות האורתוגונליות** על $H \oplus \{0\}$ ועל $\{0\} \oplus H$ בהתאמה. אז: $$A_{jk} = P_j K P_k$$ הוא מכפלה של אופרטור קומפקטי באופרטורים חסומים, ולכן הוא **קומפקטי**. **כיוון שני ($A_{jk}$ קומפקטיים $\Rightarrow$ $K$ קומפקטי):** נתבונן באופרטור $K_{11} = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. אם $(x_n, y_n)$ סדרה חסומה, אז $(x_n)$ חסומה, ולכן ל-$(A_{11} x_n)$ יש תת-סדרה מתכנסת, ומכאן: $$\begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{n_k} \\ y_{n_k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11} x_{n_k} \\ 0 \end{pmatrix}$$ מתכנסת, כלומר $K_{11}$ **קומפקטי**. באותה דרך מוכיחים ש-$K_{12}, K_{21}, K_{22}$ קומפקטיים. מאחר ש-$K = K_{11} + K_{12} + K_{21} + K_{22}$, נסיק ש-$K$ **קומפקטי**. $\blacksquare$ **סעיף ב:** **$C(\mathbb{R})$ הוא מרחב בנך:** מוכיחים בדיוק כמו בדוגמה ב' של סעיף 6.2 (עם $\sup$ במקום $\max$). **$T$ לינארי:** בדיקה מיידית. **$T$ איזומטריה:** לכל $f \in C(\mathbb{R})$: $$\|Tf\| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x - x_0)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)| = \|f\|.$$ **$T$ על:** לכל $g \in C(\mathbb{R})$ נגדיר $f(x) = g(x + x_0)$, אז $f \in C(\mathbb{R})$ ומתקיים $Tf = g$. מאחר ש-$T$ הוא איזומטריה חח"ע ועל, נסיק ש-$T$ הוא **אופרטור אוניטרי**. $\blacksquare$