שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2012 - מרחב בנך

א. יהיו $T, S \in L(H)$ כך ש־$S^* S \leq T^* T$. הוכח כי אם $T$ קומפקטי אז גם $S$ קומפקטי. ב. יהי $C(\mathbb{R})$ מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב־$\mathbb{R}$ עם נורמה $\|f\| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|$. בדוק ש־$C(\mathbb{R})$ הוא מרחב בנך, ונגדיר $x_0 \in \mathbb{R}$ ונגדיר $T$ אופרטור לינארי על־ידי $(Tf)(x) = f(x - x_0)$. הראה כי $T$ אופרטור לינארי אוניטרי במרחב זה.

רמז: עבור סעיף א', השתמשו בכך שהתנאי $S^*S \leq T^*T$ שקול ל-\|Sx\| \leq \|Tx\|. בהינתן סדרה חסומה, השתמשו בקומפקטיות של $T$ כדי למצוא תת-סדרה שעבורה תמונות $T$ מתכנסות, והראו שתמונות $S$ המתאימות מהוות סדרת קושי. עבור סעיף ב', כדי להוכיח שהמרחב הוא מרחב בנך, הראו שכל סדרת קושי מתכנסת במידה שווה לפונקציה שהיא גם רציפה וגם חסומה. לאחר מכן, הראו שהאופרטור $T$ הוא איזומטריה סורייקטיבית.

פתרון: א. הנתון $S^* S \boldsymbol{\text{\leq}} T^* T$ על **אופרטורים** ב**מרחב הילברט** $H$ משמעותו שלכל $x H$ מתקיים $\langle S^* S x, x \rangle \leq \langle T^* T x, x \rangle$. בעזרת הגדרת ה**אופרטור הצמוד**, אי-שוויון זה שקול ל-$\langle Sx, Sx \rangle \leq \langle Tx, Tx \rangle$, כלומר, $\|Sx\|^2 \leq \|Tx\|^2$ או $\|Sx\| \leq \|Tx\|$ לכל $x H$. כדי להוכיח ש-$S$ הוא **אופרטור קומפקטי**, עלינו להראות שלכל **סדרה חסומה** $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ ב-$H$, לסדרה $\{Sx_n\}$ יש תת-סדרה מתכנסת. תהי $\{x_n\}$ סדרה חסומה ב-$H$. מכיוון ש-$T$ הוא **אופרטור קומפקטי**, לסדרה $\{Tx_n\}$ קיימת תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה $\{Tx_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ ונגדיר את גבולה $y = \lim_{k \to \infty} Tx_{n_k}$. כעת נבחן את תת-הסדרה המתאימה $\{Sx_{n_k}\}_{k=1}^\infty$. נוכיח שהיא **סדרת קושי**. לכל $k, j \in \mathbb{N}$ מתקיים: $\|Sx_{n_k} - Sx_{n_j}\| = \|S(x_{n_k} - x_{n_j})\|$ לפי אי-השוויון הנתון, כאשר נציב $x = x_{n_k} - x_{n_j}$, נקבל: $\|S(x_{n_k} - x_{n_j})\| \leq \|T(x_{n_k} - x_{n_j})\| = \|Tx_{n_k} - Tx_{n_j}\|$ מאחר שהסדרה $\{Tx_{n_k}\}$ מתכנסת, היא סדרת קושי. לכן, לכל $\epsilon > 0$ קיים $N$ כך שלכל $k, j > N$ מתקיים $\|Tx_{n_k} - Tx_{n_j}\| < \epsilon$. כתוצאה מכך, לכל $k, j > N$ מתקיים גם $\|Sx_{n_k} - Sx_{n_j}\| < \epsilon$. הראינו כי $\{Sx_{n_k}\}$ היא סדרת קושי. מכיוון ש-$H$ הוא מרחב הילברט, הוא **מרחב שלם**, ולכן כל סדרת קושי בו מתכנסת. מכאן ש-$\{Sx_{n_k}\}$ מתכנסת. מצאנו תת-סדרה מתכנסת לסדרה $\{Sx_n\}$, ולכן $S$ הוא אופרטור קומפקטי. $\blacksquare$ ב. ראשית, נוכיח כי $C(\mathbb{R})$ (מרחב הפונקציות הרציפות והחסומות ב-$\mathbb{R}$) עם **נורמת הסופרמום** הוא **מרחב בנך**. יהי $\{f_n\}$ **סדרת קושי** ב-$C(\mathbb{R})$. לפי הגדרת הנורמה, לכל $\epsilon > 0$ קיים $N$ כך שלכל $n, m > N$ מתקיים: $\|f_n - f_m\| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon$ מכאן שלכל $x \in \mathbb{R}$ קבוע, סדרת המספרים $\{f_n(x)\}$ היא סדרת קושי ב-$\mathbb{C}$ (או $\mathbb{R}$), ולכן היא מתכנסת. נגדיר את פונקציית הגבול $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$. ההתכנסות היא **במידה שווה**. אם ניקח את הגבול $m \to \infty$ באי-השוויון לעיל, נקבל שלכל $n>N$, $\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| \leq \epsilon$. זה מוכיח כי $f_n \to f$ בנורמת הסופרמום. כעת נוודא כי $f \in C(\mathbb{R})$. 1. **רציפות**: $f$ היא גבול במידה שווה של סדרת פונקציות רציפות, ולכן היא רציפה. 2. **חסימות**: מכיוון ש-$\{f_n\}$ מתכנסת, היא חסומה. קיים $N_0$ כך שלכל $n > N_0$, $\|f_n - f_{N_0}\| < 1$. לכן $\|f_n\| < \|f_{N_0}\| + 1$. מאחר שההתכנסות במידה שווה, $\|f\| = \lim_{n \to \infty} \|f_n\| \leq \|f_{N_0}\| + 1$. מכיוון ש-$f_{N_0}$ חסומה, גם $f$ חסומה. הראינו שכל סדרת קושי מתכנסת לגבול במרחב, ולכן $C(\mathbb{R})$ הוא מרחב בנך. כעת ננתח את האופרטור $T$ המוגדר על ידי $(Tf)(x) = f(x - x_0)$. 1. **לינאריות**: לכל $f,g \in C(\mathbb{R})$ וסקלרים $\alpha, \beta$, מתקיים: $T(\alpha f + \beta g)(x) = (\alpha f + \beta g)(x - x_0) = \alpha f(x - x_0) + \beta g(x - x_0) = \alpha (Tf)(x) + \beta (Tg)(x)$. לכן $T$ הוא **אופרטור לינארי**. 2. **אוניטריות**: במרחב בנך, **אופרטור אוניטרי** הוא אופרטור לינארי, איזומטרי ועל (סורייקטיבי). * **איזומטריה**: נחשב את הנורמה של $Tf$: $\|Tf\| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |(Tf)(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x - x_0)|$. על ידי החלפת משתנים $y = x - x_0$, כאשר $x$ עובר על כל $\mathbb{R}$, כך גם $y$. לכן: $\sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x - x_0)| = \sup_{y \in \mathbb{R}} |f(y)| = \|f\|$. הוכחנו כי $\|Tf\| = \|f\|$ לכל $f$, ולכן $T$ הוא **איזומטריה**. * **סורייקטיביות (על)**: יהי $g \in C(\mathbb{R})$. נחפש $f \in C(\mathbb{R})$ כך ש-$Tf = g$. כלומר, $f(x-x_0) = g(x)$ לכל $x$. נגדיר $f(y) = g(y+x_0)$. פונקציה זו רציפה (כהרכבת פונקציות רציפות) וחסומה (כי $g$ חסומה), ולכן $f \in C(\mathbb{R})$. מצאנו מקור לכל $g$, ולכן $T$ הוא על. מכיוון ש-$T$ הוא אופרטור לינארי, איזומטרי ועל, הוא אופרטור אוניטרי במרחב הבנך $C(\mathbb{R})$. $\blacksquare$