שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - ספקטרום

א. יהי $A \in L(H)$ אופרטור צמוד לעצמו. הוכח כי $\lambda$ נקודה רגולרית של $A$ אם ורק אם קיים $c > 0$ כך ש-$\|(\lambda I - A)x\| \geq c\|x\|$ לכל $x \in H$. ב. הראה כי הקבוצה $\left\{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(nx)\right\}_{n=1}^{\infty}$ מהווה בסיס אורתונורמלי של $L^2[0, \pi]$.

רמז: לסעיף א: הכיוון הראשון ישיר מהחסימות של ההופכי; הכיוון השני משתמש בכך ש-$A$ הרמיטי ובלמה על היפכיות. לסעיף ב: מרחיבים פונקציה מ-$[0,\pi]$ לפונקציה אי-זוגית על $[-\pi,\pi]$ ומשתמשים בבסיס הפורייה המלא.

פתרון: **סעיף א:** **כיוון ראשון ($\lambda$ רגולרית $\Rightarrow$ קיים $c>0$):** אם $\lambda$ רגולרית אז $\lambda I - A$ הפיך, וההופכי חסום לפי **משפט בנך** (3.9). לכן לכל $x \in H$: $$\|x\| = \|(\lambda I - A)^{-1}(\lambda I - A)x\| \leq \|(\lambda I - A)^{-1}\| \cdot \|(\lambda I - A)x\|,$$ מכאן: $$\|(\lambda I - A)x\| \geq c\|x\|, \quad c = \left(\|(\lambda I - A)^{-1}\|\right)^{-1} > 0.$$ **כיוון שני ($\|(\lambda I-A)x\| \geq c\|x\|$ $\Rightarrow$ $\lambda$ רגולרית):** נניח ש-$\|(\lambda I - A)x\| \geq c\|x\|$ לכל $x \in H$. לפי שאלה 25ב בפרק 5, אם $\lambda \in \mathbb{R}$ אז $(\lambda I - A)^* = \lambda I - A$, ולכן מתקיימים תנאי **למה 4.6**, ממנה נסיק ש-$\lambda I - A$ הפיך, כלומר $\lambda$ **נקודה רגולרית** של $A$. $\blacksquare$ **סעיף ב:** **בדיקה ישירה ומיידית** מראה שהקבוצה $\left\{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(nx)\right\}_{n=1}^\infty$ **אורתונורמלית** ב-$L^2[0,\pi]$. כדי להוכיח שהיא **בסיס אורתונורמלי**, מספיק להוכיח מקסימליות (לפי משפט 2.10). נניח $f \perp \varphi_n$ לכל $n$, כלומר $\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx = 0$ לכל $n$ טבעי. נגדיר: $$g(x) = \begin{cases} f(x), & x \in [0,\pi] \\ -f(-x), & x \in [-\pi, 0] \end{cases}$$ אז: - לכל $n$ טבעי: $\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\sin(nx)\,dx = 2\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx = 0$. - לכל $n \geq 0$: $\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos(nx)\,dx = 0$ (כי האינטגרנד פונקציה **אי-זוגית**). קיבלנו ש-$g$ **אורתוגונלית** למערכת $\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\right\}_1^\infty$, שהיא **בסיס** של $L^2[-\pi,\pi]$ (סעיף 2.5). לפי משפט 2.10 זוהי מערכת מקסימלית, ולכן $g = 0$, ומכאן $f = 0$. הוכחנו שהקבוצה מקסימלית, ועל כן היא **בסיס אורתונורמלי**. $\blacksquare$