שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2014 - ספקטרום

א. אופרטור לינארי $A$ נקרא נילפוטנטי (nilpotent) אם קיים $n$ טבעי כך ש- $A^n = 0$. הראה כי לכל אופרטור נילפוטנטי $A \in \mathcal{L}(H)$ (מדובר במרחב מרוכב) $\sigma(A) = \{0\}$. ב. יהי $f$ פונקציונל לינארי במרחב וקטורי מרוכב $V$. הוכח כי אם $f(V) \neq \mathbb{C}$ אז $f(V) = \{0\}$ (כרגיל, $f(V) = \{f(v) : v \in V\}$).

רמז: עבור א — נילפוטנטיות גוררת $\|(\frac{1}{\lambda}A)^n\|=0<1$ לכל $\lambda\neq 0$, ולכן $\lambda I - A$ הפיך. עבור ב — אם $f$ מקבלת ערך שונה מאפס, הלינאריות מאפשרת להגיע לכל $c\in\mathbb{C}$.

פתרון: **א. הספקטרום של אופרטור נילפוטנטי:** יהי $\lambda \neq 0$. אז: $$\left\|\left(\frac{1}{\lambda}A\right)^n\right\| = \frac{\|A^n\|}{|\lambda^n|} = \frac{0}{|\lambda^n|} = 0 < 1$$ ולכן לפי **משפט 3.14**, האופרטור $I - \frac{1}{\lambda}A$ **הפיך** (כאשר האופרטור ההפוך חסום). משמע: $$\lambda I - A = \lambda\left(I - \frac{1}{\lambda}A\right) \text{ הפיך}$$ לכן $\lambda \notin \sigma(A)$ לכל $\lambda \neq 0$. כמו כן, לפי **משפט 5.20**, $\sigma(A) \neq \emptyset$. מהעובדות שהוכחנו נובע: $$\sigma(A) = \{0\} \qquad \blacksquare$$ --- **ב. אם $f(V) \neq \mathbb{C}$ אז $f(V) = \{0\}$:** נניח בשלילה שקיים $v \in V$ כך ש-$f(v) = a \neq 0$. אז לכל $c \in \mathbb{C}$ מתקיים: $$f\!\left(\frac{c}{a}v\right) = \frac{c}{a}f(v) = \frac{c}{a} \cdot a = c$$ משמע $c \in \text{Im}\, f$, כלומר $f(V) = \mathbb{C}$ — **סתירה** לנתון. אי-לכך, לא קיים $v \in V$ עם $f(v) \neq 0$, כלומר $f(v) = 0$ לכל $v \in V$, ולכן: $$f(V) = \{0\} \qquad \blacksquare$$