שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - אופרטורים לינאריים

א. תן דוגמה של אופרטור לינארי $T: \ell^2 \to \ell^2$ כך ש-$T$ לא קומפקטי אך $T^2 = 0$. ב. יהיו $X, Y, Z$ מרחבי בנך. יהי $B \in L(Y, Z)$ אופרטור חד-חד-ערכי ויהי $A: X \to Y$ אופרטור לינארי (ברישום זה טמונה ההנחה ש-$D(A) = X$). הוכח כי אם $BA$ אופרטור חסום אז גם $A$ חסום.

רמז: לסעיף א: האופרטור מעתיק אינדקסים אי-זוגיים לזוגיים, ולכן $\operatorname{Im}T \subseteq \ker T$ ו-$T^2=0$, אך הסדרה $\{Te_{2n-1}\}$ אינה קומפקטית. לסעיף ב: מחח"ע של $B$ וחסימות $BA$ מסיקים ש-$A$ סגור, ואז משפט הגרף הסגור מסיים.

פתרון: **סעיף א:** **הגדרת האופרטור:** נגדיר $T: \ell^2 \to \ell^2$ על ידי: $$T(\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4, \ldots) = (0, \xi_1, 0, \xi_3, 0, \xi_5, \ldots).$$ כלומר, $T(\xi_k) = (0, \xi_1, 0, \xi_3, 0, \xi_5, \ldots)$ — האיברים הנגרים מועתקים למקומות הזוגיים. **$T$ אינו קומפקטי:** $\{Te_{2n-1}\}_{n=1}^\infty = \{e_{2n}\}_{n=1}^\infty$. לסדרה זו אין תת-סדרה מתכנסת כי $\|e_i - e_j\| = \sqrt{2}$ לכל $i \neq j$. **$T^2 = 0$:** $\operatorname{Im} T = \overline{\operatorname{Sp}}\{e_{2n}\}_1^\infty \subseteq \ker T$ (כי $T$ שולח וקטורים זוגיים לאפס). לכן $T(Tx) = 0$ לכל $x \in \ell_2$, משמע $T^2 = 0$. **סעיף ב:** נוכיח ש-$A$ הוא **אופרטור סגור**, ואז נסיק חסימות ממשפט הגרף הסגור. יהי $x_n \to x$ ו-$Ax_n \to y$ (כאשר $\mathcal{D}(A) = X$). עלינו להראות $y = Ax$. - כיוון ש-$BA$ חסום: $BAx_n \to BAx$. - כיוון ש-$B$ חסום: $BAx_n = B(Ax_n) \to By$. משני הגבולות: $BAx = By$. כיוון ש-$B$ **חח"ע**, נסיק $Ax = y$. לכן $A$ הוא **אופרטור סגור** (לפי הגדרה 7.5). מאחר ש-$\mathcal{D}(A) = X$ הוא מרחב בנך, לפי **משפט הגרף הסגור** (משפט 7.8) נסיק ש-$A$ חסום. $\blacksquare$