שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2018 - מרחב נורמי

יהי $X$ מרחב של כל הסדרות האינסופיות של מספרים מרוכבים שרק מספר סופי של איבריהן שונים מ-0, כלומר אם $\xi_1, \xi_2, \ldots \in X$ אז קיים $N$ כך ש-$\xi_k = 0$ לכל $k \geq N$. הנורמה ב-$X$ מוגדרת על-ידי $\|(\xi_1, \xi_2, \ldots)\| = \max_k |\xi_k|$ (הנורמה של $\ell_\infty$). א. לכל $n$ טבעי גדיר פונקציונל ליניארי $f_n$ במרחב $X$ על-ידי $f_n(\xi_1, \xi_2, \ldots) = n\xi_n$. בדקו כי $\sup_n \|f_n\| = \infty$ אולם $\sup_{n} |f_n(x)| < \infty$ לכל $x \in X$. מדוע עובדה זו אינה סותרת את עקרון החסימות במידה שווה? ב. הראו כי המרחב הצמוד $X^*$ (כלומר, המרחב $(L(X,\mathbb{C})$) איזומורפי ל-$\ell^1$.

רמז: לסעיף א': X אינו בנך, ולכן עקרון החסימות במידה שווה אינו חל. לסעיף ב': $X$ צפוף ב-$c_0$, ולכן $X^* \cong c_0^* \cong \ell^1$.

פתרון: **שאלה 1א:** יהי $x = (\xi_1, \xi_2, \ldots) \in X$. לפי ההגדרה, קיים $N$ כך ש-$\xi_n = 0$ לכל $n > N$. לכן, לכל $n > N$ מתקיים $f_n(x) = n\xi_n = 0$, ומכאן ש- $$\sup_n |f_n(x)| = \sup_{n=1,\ldots,N} |n\xi_n| < \infty$$ כי $\sup$ על קבוצה סופית הוא סופי. מאידך, לכל $n$ קיים $e_n = (0,\ldots,0,1,0,\ldots) \in X$ (עם 1 במקום ה-$n$), ומתקיים $f_n(e_n) = n$ ו-$\|e_n\| = 1$, ולכן $\|f_n\| \geq n$, ולכן $\sup_n \|f_n\| = \infty$. אין סתירה ל**עקרון החסימות במידה שווה** כי $X$ **אינו מרחב בנך**. זה נובע מהערה ב' לאחר הגדרה 6.3: $X$ הוא תת-מרחב שאינו סגור של $\ell_\infty$ (למשל, אם $x_n = (1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, 0, 0, \ldots)$ אז $x_n \to (\frac{1}{k})_{k=1}^\infty \notin X$). **שאלה 1ב:** **דרך 1:** חוזרים לפתרון סעיפים א ו-ב1 של שאלה 18 בפרק 6. מציינים שהווקטורים $y_n$ מהפתרון שייכים ל-$X$, ו-$\{e_n\}$ בסיס שאודר ל-$X$, ולכן הפתרון בספר נכון גם אם מחליפים את $c_0$ ב-$X$. **דרך 2:** $\overline{X} = c_0$ בנורמה של $\ell_\infty$ (בדקו!), ולכן כל פונקציונל חסום ב-$X$ ניתן להמשיך באופן יחיד ל-$c_0$, ומשפט האן-בנך (הערה א' לאחר משפט האן-בנך, עמ' 40 בכרך רביעי) נותן $X^* \cong c_0^* \cong \ell^1$. $\blacksquare$