שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2015

קורס: אנליזה פונקציונלית

אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה

שנה: 2015

סמסטר: ב

נושאים: אופרטורים לינאריים, אופרטורים חסומים, אופרטור הרמיטי, אופרטור אוניטרי, ערכים עצמיים, ספקטרום, אופרטורים קומפקטיים, התכנסות נקודתית, מרחבי לפ

רמת קושי: בינוני-קשה

יהי $A_n$ אופרטור לינארי במרחב $\ell^2$ ההופך את הסדר של $n$ הרכיבים הראשונים ומשאיר את שאר הרכיבים ללא שינוי, כלומר: $$A_n(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-1}, \xi_n, \xi_{n+1}, \ldots) = (\xi_n, \xi_{n-1}, \ldots, \xi_2, \xi_1, \xi_{n+1}, \ldots)$$ א. האם $A_n$ צמוד לעצמו? אוניטרי? קומפקטי? ב. מצא את הערכים העצמיים של $A_n$ והראה כי עבור $\lambda \neq \pm 1$ מתקיים: $$(\lambda I - A_n)^{-1} = \frac{1}{\lambda^2 - 1}(\lambda I + A_n)$$ ג. האם הסדרה $\{A_n\}$ מתכנסת נקודתית ב-$\ell^2$? האם היא מתכנסת בנורמה של אופרטורים?

רמז: האופרטור $A_n$ מחליף סדר של $n$ רכיבים, ולכן הוא הפיך לעצמו ($A_n^2=I$) וצמוד לעצמו — שתי תכונות שיחד נותנות אוניטריות. אי-התכנסות הנובעת מכך שהרכיב הראשון משתנה.

פתרון: **שאלה 1א:** מהנתון מתקיימים שלושה תנאים: **(1)** לכל $x \in \ell_2$: $\|A_n x\| = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}|\xi_n|^2} = \|x\|$ **(2)** לכל $x \in \ell_2$: $A_n(A_n(x)) = x$, כלומר $A_n^2 = I$ ולכן $A_n^{-1} = A_n$. **(3)** לכל $x, y \in \ell_2$: $\langle A_n x, y\rangle = \langle x, A_n y\rangle$, כלומר $A_n^* = A_n$. מ-(3) נסיק ש-$A_n$ **צמוד לעצמו**. מ-(1)+(2) נסיק ש-$A_n$ **אוניטרי**: מ-(1) נובע שהוא איזומטריה, ומ-(2) נובע שהוא על. דרך נוספת: מ-(2)+(3) נסיק $A_n^* = A_n^{-1}$, שהיא ההגדרה השקולה לאוניטריות. $A_n$ **אינו קומפקטי** כי הוא אופרטור אוניטרי במרחב אינסוף-ממדי. --- **שאלה 1ב:** מ-(2) נסיק שאם $\lambda$ ערך עצמי של $A_n$ אז $\lambda^2 = 1$, ולכן $\lambda \neq \pm 1$ אינו ע"ע. - $\lambda = 1$ הוא ע"ע של $A_n$: $A_n(e_{n+1}) = e_{n+1}$. - $\lambda = -1$ הוא ע"ע של $A_n$: $A_n(e_1 - e_n) = e_n - e_1 = -(e_1 - e_n)$ (עבור $n \geq 2$). עבור $\lambda \neq \pm 1$, נחשב: $$(\lambda I - A_n)(\lambda I + A_n) = \lambda^2 I - A_n^2 = (\lambda^2 - 1)I$$ מכאן השוויון המבוקש: $$(\lambda I - A_n)^{-1} = \frac{1}{\lambda^2 - 1}(\lambda I + A_n)$$ $\blacksquare$ --- **שאלה 1ג:** לכל $x \neq 0$ עבורו $\xi_1 \neq 0$, הרכיב ה-$1$ ב-$A_{n+1}x$ הוא $\xi_{n+1}$, ולכן $A_{n+1}x - A_n x$ מכיל את $\xi_1 - \xi_{n+1}$. משום ש-$\xi_1 \neq 0$, הביטוי $\|A_{n+1}x - A_n x\| \geq |\xi_1 - \xi_{n+1}| \to |\xi_1| \neq 0$, ולכן $\{A_n x\}$ **אינה סדרת קושי** ואינה מתכנסת. מכיוון שהתכנסות בנורמה גוררת התכנסות נקודתית, נסיק ש-$\{A_n\}$ **לא מתכנסת גם בנורמה של אופרטורים**.$\blacksquare$

יהי

A_{n}

אופרטור לינארי במרחב

ℓ^{2}

ההופך את הסדר של

n

הרכיבים הראשונים ומשאיר את שאר הרכיבים ללא שינוי, כלומר:

A_{n} (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - 1}, ξ_{n}, ξ_{n + 1}, \dots) = (ξ_{n}, ξ_{n - 1}, \dots, ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{n + 1}, \dots)

א. האם

A_{n}

צמוד לעצמו? אוניטרי? קומפקטי?

ב. מצא את הערכים העצמיים של

A_{n}

והראה כי עבור

λ \neq = \pm 1

מתקיים:

(λ I - A_{n})^{- 1} = \frac{1}{λ ^{2} - 1} (λ I + A_{n})

ג. האם הסדרה

{A_{n}}

מתכנסת נקודתית ב-

ℓ^{2}

? האם היא מתכנסת בנורמה של אופרטורים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2015סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםאופרטור הרמיטיאופרטור אוניטריערכים עצמייםספקטרוםאופרטורים קומפקטייםהתכנסות נקודתיתמרחבי לפ

האופרטור

A_{n}

מחליף סדר של

n

רכיבים, ולכן הוא הפיך לעצמו (

A_{n}^{2} = I

) וצמוד לעצמו — שתי תכונות שיחד נותנות אוניטריות. אי-התכנסות הנובעת מכך שהרכיב הראשון משתנה.

שאלה 1א:

מהנתון מתקיימים שלושה תנאים:

(1) לכל

x \in ℓ_{2}

∥ A_{n} x ∥ = \sum_{n = 1}^{\infty} ∣ ξ_{n} ∣^{2} = ∥ x ∥

(2) לכל

x \in ℓ_{2}

A_{n} (A_{n} (x)) = x

, כלומר

A_{n}^{2} = I

ולכן

A_{n}^{- 1} = A_{n}

.

(3) לכל

x, y \in ℓ_{2}

⟨ A_{n} x, y ⟩ = ⟨ x, A_{n} y ⟩

, כלומר

A_{n}^{*} = A_{n}

.

מ-(3) נסיק ש-

A_{n}

צמוד לעצמו.

מ-(1)+(2) נסיק ש-

A_{n}

אוניטרי: מ-(1) נובע שהוא איזומטריה, ומ-(2) נובע שהוא על. דרך נוספת: מ-(2)+(3) נסיק

A_{n}^{*} = A_{n}^{- 1}

, שהיא ההגדרה השקולה לאוניטריות.

A_{n}

אינו קומפקטי כי הוא אופרטור אוניטרי במרחב אינסוף-ממדי.

---

שאלה 1ב:

מ-(2) נסיק שאם

λ

ערך עצמי של

A_{n}

אז

λ^{2} = 1

, ולכן

λ \neq = \pm 1

אינו ע"ע.

$λ = 1$ הוא ע"ע של $A_{n}$ : $A_{n} (e_{n + 1}) = e_{n + 1}$ .
$λ = - 1$ הוא ע"ע של $A_{n}$ : $A_{n} (e_{1} - e_{n}) = e_{n} - e_{1} = - (e_{1} - e_{n})$ (עבור $n \geq 2$ ).

עבור

λ \neq = \pm 1

, נחשב:

(λ I - A_{n}) (λ I + A_{n}) = λ^{2} I - A_{n}^{2} = (λ^{2} - 1) I

מכאן השוויון המבוקש:

(λ I - A_{n})^{- 1} = \frac{1}{λ ^{2} - 1} (λ I + A_{n})

■

---

שאלה 1ג:

לכל

x \neq = 0

עבורו

ξ_{1} \neq = 0

, הרכיב ה-

1

ב-

A_{n + 1} x

הוא

ξ_{n + 1}

, ולכן

A_{n + 1} x - A_{n} x

מכיל את

ξ_{1} - ξ_{n + 1}

. משום ש-

ξ_{1} \neq = 0

, הביטוי

∥ A_{n + 1} x - A_{n} x ∥ \geq ∣ ξ_{1} - ξ_{n + 1} ∣ \to ∣ ξ_{1} ∣ \neq = 0

, ולכן

{A_{n} x}

אינה סדרת קושי ואינה מתכנסת.

מכיוון שהתכנסות בנורמה גוררת התכנסות נקודתית, נסיק ש-

{A_{n}}

לא מתכנסת גם בנורמה של אופרטורים.

■

שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - אופרטורים לינאריים