שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2012 - מרחב נורמי

יהי $X$ מרחב של כל הסדרות האינסופיות של מספרים מרוכבים שרק מספר סופי של איבריהן שונים מ־0, כלומר אם $\xi = (\xi_1, \xi_2, \ldots) \in X$ אז קיים $N$ כך ש־$\xi_k = 0$ לכל $k \geq N$. הנורמה ב־$X$ מוגדרת על־ידי $\|\xi\| = \max_k |\xi_k|$ (הנורמה של הנורמה $\ell^\infty$). א. לכל $n$ טבעי נגדיר פונקציונל לינארי $f_n$ במרחב $X$ על־ידי $f_n(\xi_1, \xi_2, \ldots) = n\xi_n$. בדוק כי בדוק כי לכל $x \in X$ כלול $\sup_n |f_n(x)| < \infty$ אולם $\sup_n \|f_n\| = \infty$. מדוע עובדה זו אינה סותרת את עקרון החסימות במידה שווה? ב. הראה כי המרחב הצמוד $X^*$ איזומורפי ל־$\ell^1$.

רמז: עבור סעיף א', בדוק אם המרחב $X$ הוא מרחב בנך. עבור סעיף ב', בנה העתקה מפורשת $T: \ell^1 \to X^*$ ובדוק שהיא איזומורפיזם איזומטרי.

פתרון: א. \\ראשית, נוכיח כי לכל $x \in X$ נתון, $\sup_n |f_n(x)| < \infty$. \\יהי $\xi = (\xi_1, \xi_2, \ldots) \in X$. לפי הגדרת המרחב $X$, קיים $N \in \mathbb{N}$ כך שלכל $k \geq N$ מתקיים $\xi_k = 0$. \\לכן, עבור $n \geq N$, מתקיים $f_n(\xi) = n\xi_n = n \cdot 0 = 0$. \\עבור $n < N$, ערכי $|f_n(\xi)| = |n\xi_n|$ הם קבוצה סופית של מספרים. \\לפיכך, קבוצת הערכים $\{|f_n(\xi)| : n \in \mathbb{N}\}$ היא $\{|1\cdot\xi_1|, |2\cdot\xi_2|, \ldots, |(N-1)\xi_{N-1}|, 0, 0, \ldots\}$. \\הסופרימום של קבוצה זו הוא $\sup_n |f_n(\xi)| = \max_{1 \le k < N} |k\xi_k|$, وهو ערך סופי. לכן הטענה הראשונה נכונה.\\שנית, נוכיח כי $\sup_n \|f_n\| = \infty$. \\ה**נורמה של הפונקציונל** $f_n$ מוגדרת כ־$\|f_n\| = \sup_{\|\xi\|=1, \xi \in X} |f_n(\xi)|$. \\לכל $\xi \in X$ מתקיים $|f_n(\xi)| = |n\xi_n| = n|\xi_n|$. מכיוון ש־$|\xi_n| \le \max_k |\xi_k| = \|\xi\|$, נקבל $|f_n(\xi)| \le n\|\xi\|$. מכאן נובע כי $\|f_n\| \le n$. \\כדי להראות שוויון, נבחר וקטור ספציפי. יהי $e_n$ הווקטור שרכיבו ה־$n$־י הוא 1 וכל שאר רכיביו הם 0. וקטור זה שייך ל־$X$ ומתקיים $\|e_n\| = \max_k |(e_n)_k| = 1$. \\נפעיל את $f_n$ על $e_n$: $|f_n(e_n)| = |n \cdot 1| = n$. \\מצאנו וקטור $\xi=e_n$ עם $\|\xi\|=1$ שעבורו $|f_n(\xi)|=n$. יחד עם החסם $\|f_n\| \le n$ נסיק כי $\|f_n\| = n$. \\לכן, $\sup_n \|f_n\| = \sup_n n = \infty$.\\עובדה זו אינה סותרת את **עקרון החסימות במידה שווה** (או **משפט בנך-שטיינהאוס**), משום שאחד מתנאי המשפט אינו מתקיים. המשפט דורש שהמרחב $X$ יהיה **מרחב בנך**, כלומר מרחב נורמי שלם. \\המרחב $X$ הנתון אינו שלם. כדי להראות זאת, נבנה סדרת קושי שאינה מתכנסת במרחב. \\נגדיר סדרה של וקטורים $x^{(m)} \in X$ באופן הבא: $x^{(m)} = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{m}, 0, 0, \ldots)$. \\סדרה זו היא **סדרת קושי**. יהיו $m > p$. אז $x^{(m)} - x^{(p)} = (0, \ldots, 0, \frac{1}{p+1}, \frac{1}{p+2}, \ldots, \frac{1}{m}, 0, \ldots)$. \\הנורמה של ההפרש היא $\|x^{(m)} - x^{(p)}\| = \max_{k} |(x^{(m)}-x^{(p)})_k| = \frac{1}{p+1}$. \\כאשר $p \to \infty$, $\|x^{(m)} - x^{(p)}\| \to 0$, ולכן זוהי סדרת קושי. \\גבול סדרה זו במרחב $\ell^\infty$ הוא הווקטור $x = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots)$. וקטור זה אינו שייך ל־$X$, מכיוון שיש לו אינסוף רכיבים שונים מאפס. \\מכיוון שמצאנו סדרת קושי ב־$X$ שאינה מתכנסת לגבול ב־$X$, המרחב $X$ אינו שלם, ולכן אינו מרחב בנך. משום כך, לא ניתן להפעיל את משפט בנך-שטיינהאוס ואין סתירה. $\blacksquare$ \\ב. \\נוכיח כי **המרחב הצמוד** $X^*$ איזומורפי איזומטרית למרחב הסדרות $\ell^1$. \\נגדיר העתקה $T: \ell^1 \to X^*$. לכל $y = (y_1, y_2, \ldots) \in \ell^1$, נגדיר את הפונקציונל $f_y = T(y)$ על ידי $f_y(x) = \sum_{k=1}^\infty y_k x_k$ עבור $x = (x_1, x_2, \ldots) \in X$. \\הסכום הנ״ל הוא סופי מכיוון שלכל $x \in X$ יש מספר סופי של איברים שונים מאפס, ולכן הפונקציונל $f_y$ מוגדר היטב. קל לראות ש־$f_y$ לינארי. נוכיח שהוא חסום. \\$|f_y(x)| = |\sum_{k=1}^\infty y_k x_k| \le \sum_{k=1}^\infty |y_k| |x_k| \le (\sup_k |x_k|) \sum_{k=1}^\infty |y_k| = \|x\| \|y\|_1$. \\מכאן נובע ש־$f_y$ חסום ו־$\|f_y\| \le \|y\|_1$. \\כעת נוכיח שההעתקה $T$ היא **איזומורפיזם איזומטרי**: \\1. **$T$ הוא איזומטריה**: הראנו $\|T(y)\| = \|f_y\| \le \|y\|_1$. נראה את הכיוון ההפוך. יהי $y \in \ell^1$. לכל $N \in \mathbb{N}$, נגדיר $x^{(N)} \in X$ על ידי $(x^{(N)})_k = \text{sgn}(y_k)$ עבור $1 \le k \le N$, ו־$(x^{(N)})_k = 0$ עבור $k > N$. (כאשר $\text{sgn}(z) = \bar{z}/|z|$ אם $z \ne 0$ ו-0 אחרת). אז $\|x^{(N)}\| \le 1$. \\$f_y(x^{(N)}) = \sum_{k=1}^N y_k \text{sgn}(y_k) = \sum_{k=1}^N |y_k|$. \\לכן, $\|f_y\| = \sup_{\|x\|=1} |f_y(x)| \ge |f_y(x^{(N)})| = \sum_{k=1}^N |y_k|$. \\אי-שוויון זה נכון לכל $N$, ולכן בגבול $N \to \infty$ נקבל $\|f_y\| \ge \sum_{k=1}^\infty |y_k| = \|y\|_1$. \\שני אי-השוויונים יחד מראים כי $\|f_y\| = \|y\|_1$, כלומר $T$ היא איזומטריה. מכך נובע ש־$T$ חח״ע. \\2. **$T$ הוא על**: יהי $f \in X^*$ פונקציונל לינארי חסום כלשהו. נחפש $y \in \ell^1$ כך ש־$f = T(y) = f_y$. \\יהיו $e_k$ וקטורי הבסיס הסטנדרטי. נגדיר סדרה $y$ על ידי $y_k = f(e_k)$. \\לכל $x = (x_1, \ldots, x_N, 0, \ldots) \in X$, ניתן לכתוב $x = \sum_{k=1}^N x_k e_k$. מלינאריות $f$, נקבל: \\$f(x) = f(\sum_{k=1}^N x_k e_k) = \sum_{k=1}^N x_k f(e_k) = \sum_{k=1}^N x_k y_k$. \\נותר להראות ש־$y = (y_1, y_2, \ldots) \in \ell^1$. \\לכל $N$, נגדיר $x^{(N)} = \sum_{k=1}^N \text{sgn}(y_k) e_k$. כפי שראינו, $x^{(N)} \in X$ ו־$\|x^{(N)}\| \le 1$. \\$|f(x^{(N)})| = |\sum_{k=1}^N \text{sgn}(y_k)f(e_k)| = \sum_{k=1}^N |y_k|$. \\מכיוון ש־$f$ חסום, $|f(x^{(N)})| \le \|f\| \|x^{(N)}\| \le \|f\|$. \\קיבלנו שלכל $N$ מתקיים $\sum_{k=1}^N |y_k| \le \|f\|$. \\הסכומים החלקיים של הטור $\sum |y_k|$ חסומים, ומכיוון שכל האיברים אי-שליליים, הטור מתכנס. כלומר, $\sum_{k=1}^\infty |y_k| < \infty$, ולכן $y \in \ell^1$. \\מצאנו שלכל $f \in X^*$ קיים $y \in \ell^1$ כך ש־$T(y)=f$, ולכן $T$ על. \\הראנו ש־$T$ היא העתקה לינארית (בדיקה פשוטה), חח״ע ועל, ושומרת נורמה. לכן $X^*$ איזומורפי איזומטרית ל־$\ell^1$. $\blacksquare$