שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2012 - מרחב בנך

א. יהי $B$ מרחב בנך. הוכח: אם המרחב הצמוד $B^*$ ספרבילי אז גם $B$ ספרבילי. ב. יהיו $P$ אופרטור הטלה אורתוגונלית ו- $U$ אופרטור אוניטרי במרחב הילברט $H$. נגדיר $Q = U^{-1}PU : H \to H$. הוכח כי $Q$ אופרטור הטלה אורתוגונלית.

רמז: א. השתמשו בצפיפות של קבוצה בת-מניה $\{f_n\} \subset B^*$ כדי לבנות קבוצה בת-מניה $\{x_n\} \subset B$, והוכיחו שהמרחב הנפרש על-ידה צפוף ב-$B$ באמצעות הנחה בשלילה ושימוש במשפט האן-בנך. ב. אופרטור הוא הטלה אורתוגונלית אם ורק אם הוא אידמפוטנט ($Q^2=Q$) וצמוד לעצמו ($Q^*=Q$). הוכיחו את שתי התכונות האלה עבור $Q$ תוך שימוש בתכונות של $P$ ו-$U$.

פתרון: א. כדי להוכיח שמרחב בנך $B$ הוא **ספרבילי**, עלינו להראות שקיימת בו קבוצה בת-מניה וצפופה. נתון כי המרחב ה**צמוד** $B^*$ הוא ספרבילי. לכן, קיימת קבוצה בת-מניה וצפופה ב-$B^*$, נסמנה\~$\!\!\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset B^*$. נוכל להניח כי $f_n \neq 0$ לכל $n$ (אם $B^*=\{0\}$, אז גם $B=\{0\}$ והוא ספרבילי באופן טריוויאלי). לפי הגדרת הנורמה של **פונקציונל לינארי**, לכל $f_n \in B^*$ מתקיים: $\|f_n\| = \sup_{\|x\|=1, x \in B} |f_n(x)|$. לכן, לכל $n \in \mathbb{N}$, נוכל למצוא וקטור $x_n \in B$ כך ש-$\|x_n\|=1$ וגם $|f_n(x_n)| > \frac{1}{2}\|f_n\|$. נגדיר קבוצה בת-מניה $D = \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset B$. יהי $M = \text{span}(D)$ תת-המרחב הנפרש על ידי $D$. נטען כי $M$ צפופה ב-$B$, כלומר $\overline{M}=B$. נוכיח זאת בדרך השלילה. נניח כי $\overline{M} \neq B$. מאחר ש-$M$ הוא תת-מרחב, גם סגורו $\overline{M}$ הוא תת-מרחב. מכיוון שהנחנו שזהו תת-מרחב אמיתי של $B$, לפי מסקנה מ**משפט האן-בנך**, קיים פונקציונל $f \in B^*$ שאינו פונקציונל האפס ($f \neq 0$) כך ש-$f(x)=0$ לכל $x \in \overline{M}$. בפרט, $f(x_n)=0$ לכל $n \in \mathbb{N}$. מכיוון שהקבוצה $\{f_n\}$ צפופה ב-$B^*$, ו-$f \neq 0$, קיימת תת-סדרה $\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ המתכנסת ל-$f$. כלומר, $\|f_{n_k} - f\| \to 0$ כאשר $k \to \infty$. מכאן נובע גם כי $\|f_{n_k}\| \to \|f\|$. כעת, נבחן את איברי תת-הסדרה $\{f_{n_k}\}$ ואת הוקטורים המתאימים להם $\{x_{n_k}\}$: לכל $k \in \mathbb{N}$, מהבנייה של $x_{n_k}$ ומהעובדה ש-$f(x_{n_k})=0$, מתקיים: $\frac{1}{2}\|f_{n_k}\| < |f_{n_k}(x_{n_k})| = |f_{n_k}(x_{n_k}) - f(x_{n_k})| = |(f_{n_k}-f)(x_{n_k})|$. לפי הגדרת נורמת אופרטור, $|(f_{n_k}-f)(x_{n_k})| \le \|f_{n_k}-f\| \|x_{n_k}\| = \|f_{n_k}-f\|$ (השתמשנו בכך ש-$\|x_{n_k}\|=1$). קיבלנו את אי-השוויון: $\frac{1}{2}\|f_{n_k}\| < \|f_{n_k}-f\|$. כאשר נשאיף $k \to \infty$, נקבל: $\lim_{k\to\infty} \frac{1}{2}\|f_{n_k}\| = \frac{1}{2}\|f\|$. $\lim_{k\to\infty} \|f_{n_k}-f\| = 0$. לכן, בגבול אי-השוויון הופך ל- $\frac{1}{2}\|f\| \le 0$. מאחר שהנחנו $f \neq 0$, מתקיים $\|f\| > 0$, ולכן הגענו לסתירה. מכאן שההנחה $\overline{M} \neq B$ שגויה. כלומר, $\overline{M} = B$. הקבוצה של כל הצירופים הלינאריים הסופיים של איברי $D$ עם מקדמים רציונליים (או רציונליים מרוכבים, תלוי בשדה) היא קבוצה בת-מניה וצפופה ב-$B$. לכן, $B$ ספרבילי. $\blacksquare$ ב. כדי להוכיח שהאופרטור $Q = U^{-1}PU$ הוא **הטלה אורתוגונלית**, עלינו להוכיח שהוא מקיים שתי תכונות: 1. **אידמפוטנטיות**: $Q^2=Q$. 2. **צמידות עצמית**: $Q^*=Q$. נתון כי $P$ הוא אופרטור הטלה אורתוגונלית, ולכן הוא מקיים $P^2=P$ ו-$P^*=P$. נתון כי $U$ הוא אופרטור **אוניטרי**, ולכן מקיים $UU^*=U^*U=I$. תכונה זו גוררת כי $U^{-1}=U^*$. **הוכחת אידמפוטנטיות:** $Q^2 = (U^{-1}PU)(U^{-1}PU) = U^{-1}P(UU^{-1})PU = U^{-1}P I PU = U^{-1}P^2U$. מכיוון ש-$P$ הוא הטלה, $P^2=P$, ולכן: $Q^2 = U^{-1}PU = Q$. התכונה הראשונה מתקיימת. **הוכחת צמידות עצמית:** נחשב את האופרטור ה**צמוד** ל-$Q$: $Q^* = (U^{-1}PU)^*$. נשתמש בכלל $(ABC)^* = C^*B^*A^*$ ונקבל: $Q^* = U^* P^* (U^{-1})^*$. כעת נשתמש בתכונות של $P$ ו-$U$: - $P$ הטלה אורתוגונלית, לכן $P^*=P$. - $U$ אוניטרי, לכן $U^{-1}=U^*$. מכאן נובע גם כי $(U^{-1})^* = (U^*)^* = U$. נציב את התכונות הללו בביטוי עבור $Q^*$: $Q^* = U^* P U$. מכיוון ש-$U$ אוניטרי, $U^* = U^{-1}$. לכן, נוכל לכתוב: $Q^* = U^{-1} P U$. זהו בדיוק הביטוי המגדיר את $Q$. לכן, $Q^* = Q$. התכונה השנייה מתקיימת. מאחר ש-$Q$ הוא גם אידמפוטנט וגם צמוד לעצמו, הוא אופרטור הטלה אורתוגונלית. $\blacksquare$