שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2019 - בסיס אורתונורמלי

תהי $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ מערכת אורתונורמלית במרחב $L^2[0,1]$. א. הוכיחו כי לכל $x \in [0,1]$ מתקיים: $$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\int_0^x \varphi_n(t)dt\right|^2 \leq x$$ ב. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: (i) מרחב $L_\infty[a,b]$ ספרביל. (ii) קבוצה של כל הפונקציות הרציפות ב-$[a,b]$ צפופה במרחב $L_\infty[a,b]$.

רמז: בחלק א משתמשים ב**אי-שוויון בסל** עם $\chi_{[0,x]}$. בחלק ב(i) בונים קבוצה לא בת-מנייה שכל שני איבריה במרחק 1 זה מזה; ב-(ii) שימוש בספרביליות $C[a,b]$ ובזהות הנורמות.

פתרון: **הגדרה:** נסמן $\chi_{[0,x]} \in L_2[0,1]$ להיות $\chi_{[0,x]}(t) = \begin{cases}1, & 0 \leq t \leq x \\ 0, & x < t \leq 1\end{cases}$. אז: $$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\int_0^x \varphi_n(t)\,dt\right|^2 = \sum_{n=1}^{\infty}\left|\int_0^1 \varphi_n(t)\chi_{[0,x]}(t)\,dt\right|^2 = \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\langle\varphi_n,\chi_{[0,x]}\rangle\bigr|^2 \underset{\text{Bessel}}{\leq} \|\chi_{[0,x]}\|^2 = \int_0^x dt = x$$ כאשר האי-שוויון הוא **אי-שוויון בסל** למערכת אורתונורמלית. $\blacksquare$ --- **(i) לא נכון.** נתבונן בקבוצת כל הסדרות האינסופיות $\{\xi_k\}$ המקבלות רק ערכים $0$ ו-$1$ — קבוצה זו **אינה בת-מנייה**. לכל סדרה כזו נגדיר פונקציה $f$ כך ש-$f(t) = \xi_k$ בקטע $\left(\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right]$ ו-$f(0)=0$. תהי $S$ קבוצת כל הפונקציות הללו; אז $S \subset L_\infty[0,1]$ ולכל $f \neq g$ ב-$S$ מתקיים $\|f-g\|_\infty = 1$. לכן לא קיימת קבוצה בת-מנייה **צפופה** ב-$L_\infty[0,1]$, כלומר המרחב אינו **ספרביל**. $\blacksquare$ **(ii) לא נכון.** המרחב $C[a,b]$ הוא **ספרביל** (שאלה 11ב בפרק 6), ולכן קיימת קבוצה בת-מנייה צפופה ב-$C[a,b]$. אילו $C[a,b]$ הייתה צפופה ב-$L_\infty[a,b]$ (יש להם **אותה נורמה**, וזה חיוני!), אז הקבוצה הבת-מנייה הייתה צפופה גם ב-$L_\infty[a,b]$, בסתירה ל-(i). $\blacksquare$