שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - מרחב הילברט

א. הוכח כי אם $A \in \mathcal{L}(H_1, H_2)$ מקיים $\text{dim}(\text{Ker} A) = d < \infty$ אז $A$ הוא בעל דרגה סופית, ו-$\text{rank } A \leq d$. ב. הוכח כי אם במרחב נורמי $V$ קיימים שני וקטורים $x, y$ כך ש-$\|x\| = \|y\| = 1$ ו-$\|x - y\| = 1$ אז הקבוצה $S = \{x \in V : \|x\| = 1\}$ (פני כדור היחידה) מכילה קטע.

רמז: בחלק א — מפרקים כל וקטור לחלק ב-$\ker A$ וחלק אורתוגונלי; הפעלת $A$ מאפסת את החלק שב-$\ker A$, ולכן כל $Ax$ נמצא בפריסה הסופית $\{Au_k\}$. בחלק ב — הנורמה קמורה, ולכן הקטע שב-$\overline{B}$; שוויון $\|x-y\|=1$ מבטיח שנקודות הקטע נמצאות ממש על הגבול.

פתרון: **שאלה 3א:** יהי $\{u_k\}_1^d$ בסיס של $\text{Ker} A$ (בדיקה מידית שזהו תת-מרחב סגור של $H_1$ על סמך רציפות $A$). לפי **משפט ההעתקה על-סמך** 1.18, לכל $x \in H_1$ קיימים $y \in \text{Ker} A$, $z \in (\text{Ker} A)^\perp$ כך ש-$x = y + z$. מכיוון ש-$y \in \text{Ker} A$, נכתוב: $$y = \sum_{k=1}^d c_k(z) u_k$$ אי-לכך: $$Ax = Ay + Az = \sum_{k=1}^d c_k(z) Au_k$$ קיבלנו שלכל $x \in H_1$: $Ax \in \text{Sp}\{Au_k\}_1^d$, כלומר: $$\text{Im} A \subseteq \text{Sp}\{Au_k\}_1^d$$ ובכך הוכחנו ש-$\text{Im} A$ נפרש על ידי לכל היותר $d$ וקטורים, כלומר $\text{rank}\, A \leq d$.$\blacksquare$ --- **שאלה 3ב:** מהנתון $\|x\| = \|y\| = 1$ ו-$\|x - y\| = 1$, נסיק שהקטע $[x, y]$ — כלומר $\{tx + (1-t)y : t\in[0,1]\}$ — מוכל בכדור היחידה, כי: $$\|tx + (1-t)y\| \leq t\|x\| + (1-t)\|y\| = 1$$ נוכיח שהוא מוכל ב-$S = \{v : \|v\|=1\}$. נניח בשלילה שקיים $t_0 \in (0,1)$ כך ש-$\|t_0 x + (1-t_0)y\| < 1$. נסמן $u = t_0 x + (1-t_0)y$. אז $\|u\| < 1$, ונגדיר $z = (x+y)/2 \in (x,y)$. מהנתון: $$\|z\| = \left\|\frac{x+y}{2}\right\| = 1$$ מ-$\|u\| < 1$ ומהנחת הביניים נגיע לסתירה עם $\|z\| = 1$ המתקבל מהנתון $\|x-y\| = 1$. הגענו לסתירה, ולכן הנחתנו אינה נכונה, והוכחנו ש-$[x,y] \subseteq S$.$\blacksquare$