קורס: אנליזה פונקציונלית
אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה
שנה: 2022
סמסטר: ב
נושאים: מרחבי לפ, התכנסות, אופרטורים חסומים, נורמת אופרטור, פונקציונל לינארי, סדרות
רמת קושי: בינוני-קשה
לכל $f \in L^1[-\pi, \pi]$ ולכל $n \in \mathbb{Z}$ נגדיר $\alpha_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx$ ונסמן $a = (\alpha_0, \alpha_1, \alpha_{-1}, \ldots, \alpha_n, \alpha_{-n}, \ldots)$.
(א) הוכיחו כי $a \in c_0$.
(ב) נגדיר $F: L^1[-\pi, \pi] \to c_0$ על-ידי $F(f) = a$.
הוכיחו כי $F$ אופרטור לינארי חסום ומצאו את $\|F\|$.
רמז: משתמשים בצפיפות $L_2$ ב-$L_1$ כדי להעביר את ההתכנסות של מקדמי פורייה מ-$L_2$ ל-$L_1$; הנורמה מחושבת על הפונקציה הקבועה $f\equiv 1$.
פתרון: **חלק (א): $a \in c_0$**
**שלב 1:** לכל $g \in L_2[-\pi, \pi]$, מתוך פיתוח פורייה $g(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}$ (כרך שני, עמ' 91) ותנאי ההכרחי להתכנסות טורים, מתקיים $c_n \to 0$ כאשר $n \to \pm\infty$ (כי $\|e^{inx}\|_2 = \sqrt{2\pi}$). לכן $\alpha_n \to 0$ לכל $g \in L_2[-\pi,\pi]$.
**שלב 2:** קבוצת הפונקציות הרציפות בקטע $[-\pi, \pi]$ **צפופה** ב-$L_p[-\pi,\pi]$ לכל $p \geq 1$, ולכן $L_2[-\pi,\pi]$ צפופה ב-$L_1[-\pi,\pi]$.
לכן, בהינתן $f \in L_1[-\pi,\pi]$ ו-$\varepsilon > 0$, קיים $g \in L_2[-\pi,\pi]$ כך ש-$\|f - g\|_1 < \varepsilon$. אז:
$$|\alpha_n| = \left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)e^{-inx}dx + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-g(x))e^{-inx}dx\right|$$
$$\leq \left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)e^{-inx}dx\right| + \frac{1}{2\pi}\|f-g\|_1 < \varepsilon + \frac{\varepsilon}{2\pi}(1+\frac{1}{2\pi})$$
המחובר הראשון קטן מ-$\varepsilon$ לכל $|n|$ גדול דיו (משלב 1). לכן $|\alpha_n| < \varepsilon(1 + 1/2\pi)$ לכמעט כל $n$, משמע $a \in c_0$. $\blacksquare$
**חלק (ב): $F$ חסום ו-$\|F\| = \frac{1}{2\pi}$**
**לינאריות:** בדיקה מיידית מראה כי $F$ לינארי.
**חסימות:** לכל $f \in L^1[-\pi,\pi]$:
$$|\alpha_n| = \left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx\right| \leq \frac{1}{2\pi}\|f\|_1$$
לכן $\|F(f)\| = \sup_n |\alpha_n| \leq \frac{1}{2\pi}\|f\|_1$, ומכאן $\|F\| \leq \frac{1}{2\pi}$.
**חסם תחתון:** עבור $f \equiv 1$:
$$\alpha_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 1\, dx = 1, \quad \|f\|_1 = 2\pi$$
לכן $\|F(1)\| \geq |\alpha_0| = 1 = \frac{1}{2\pi}\|1\|_1$, ולכן $\|F\| \geq \frac{1}{2\pi}$.
קיבלנו $\boxed{\|F\| = \dfrac{1}{2\pi}}$. $\blacksquare$
לכל f ∈ L 1 [ − π , π ] ולכל n ∈ Z נגדיר α n = 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) e − in x d x ונסמן a = ( α 0 , α 1 , α − 1 , … , α n , α − n , … ) . (א) הוכיחו כי a ∈ c 0 . (ב) נגדיר F : L 1 [ − π , π ] → c 0 על-ידי F ( f ) = a . הוכיחו כי F אופרטור לינארי חסום ומצאו את ∥ F ∥ .
האוניברסיטה הפתוחה מועד א 2022 סמסטר ב
מרחבי לפ התכנסות אופרטורים חסומים נורמת אופרטור פונקציונל לינארי סדרות
משתמשים בצפיפות L 2 ב- L 1 כדי להעביר את ההתכנסות של מקדמי פורייה מ- L 2 ל- L 1 ; הנורמה מחושבת על הפונקציה הקבועה f ≡ 1 .
חלק (א): a ∈ c 0 שלב 1: לכל g ∈ L 2 [ − π , π ] , מתוך פיתוח פורייה g ( x ) = ∑ − ∞ ∞ c n e in x (כרך שני, עמ' 91) ותנאי ההכרחי להתכנסות טורים, מתקיים c n → 0 כאשר n → ± ∞ (כי ∥ e in x ∥ 2 = 2 π ). לכן α n → 0 לכל g ∈ L 2 [ − π , π ] . שלב 2: קבוצת הפונקציות הרציפות בקטע [ − π , π ] צפופה ב- L p [ − π , π ] לכל p ≥ 1 , ולכן L 2 [ − π , π ] צפופה ב- L 1 [ − π , π ] . לכן, בהינתן f ∈ L 1 [ − π , π ] ו- ε > 0 , קיים g ∈ L 2 [ − π , π ] כך ש- ∥ f − g ∥ 1 < ε . אז: ∣ α n ∣ = 2 π 1 ∫ − π π g ( x ) e − in x d x + 2 π 1 ∫ − π π ( f ( x ) − g ( x )) e − in x d x ≤ 2 π 1 ∫ − π π g ( x ) e − in x d x + 2 π 1 ∥ f − g ∥ 1 < ε + 2 π ε ( 1 + 2 π 1 ) המחובר הראשון קטן מ- ε לכל ∣ n ∣ גדול דיו (משלב 1). לכן ∣ α n ∣ < ε ( 1 + 1/2 π ) לכמעט כל n , משמע a ∈ c 0 . ■ חלק (ב): F חסום ו- ∥ F ∥ = 2 π 1 לינאריות: בדיקה מיידית מראה כי F לינארי. חסימות: לכל f ∈ L 1 [ − π , π ] : ∣ α n ∣ = 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) e − in x d x ≤ 2 π 1 ∥ f ∥ 1 לכן ∥ F ( f ) ∥ = sup n ∣ α n ∣ ≤ 2 π 1 ∥ f ∥ 1 , ומכאן ∥ F ∥ ≤ 2 π 1 . חסם תחתון: עבור f ≡ 1 : α 0 = 2 π 1 ∫ − π π 1 d x = 1 , ∥ f ∥ 1 = 2 π לכן ∥ F ( 1 ) ∥ ≥ ∣ α 0 ∣ = 1 = 2 π 1 ∥1 ∥ 1 , ולכן ∥ F ∥ ≥ 2 π 1 . קיבלנו ∥ F ∥ = 2 π 1 . ■